Вопрос2.

Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю:  .

Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю:  .

Пусть задана функция   . Если аргументу   сообщить приращение  , а аргументу   – приращение  , то функция   получит приращение  , которое называется полным приращением функции и определяется формулой:  .

Функция  , полное приращение   которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно   и  , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно  ):  , где   и   стремятся к нулю, когда   и   стремятся к нулю (т.е. когда  ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается  :  , где   и   – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям   и  .

Вопрос3.

Функция z называется сложной функцией от независимых переменных x,y,…,t, если она задана через посредство промежуточных аргументов u,v,… w: z=F(u,v,…,w), где u=f(x,y,…,t); v=φ(x,y,…,t); w=ψ(x,y,…,t).

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной (1).

Если, в частности, все аргументы u,v,…,w , будут функциями от одной независимой переменной х, то и z будет сложной функцией только от х. Производная такой сложной функции (от одной переменной) называется полной производной и определяется формулой (2).

Пример 1. Найти производную сложной функции

y=u²e^v, u=cosx; v=sinx.

Решение. Здесь y есть сложная функция одной независимой переменной х. Пользуясь формулой (2), получим

Пример 2. Найти производные сложной функции

Решение. z – сложная функция двух переменных x и y. По общим формулам (1) найдем

Переменная u называется неявной функцией от независимых переменных x,y,…,t, если она задана уравнением f (x,y,…,t,u)=0, которое не разрешено относительно u. При этом, если функция f(x,y,…,t,u) и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой точке М₀(x₀,y₀,…,t₀,u₀) и вблизи нее и если

f (M₀)=0, а f_u^′ (M₀) ≠ 0, то уравнение f (x,y,…,t,u)=0 вблизи точки М₀(x₀,y₀,…,t₀) и в самой этой точке определяет u как однозначную, непрерывную и дифференцируемую функцию от x,y,…,t.

Производная неявной функции u, заданной уравнением f(x,y,…,t,u)=0, при соблюдении указанных условий определяется формулами

(3)

Пример 3. Найти частные производные неявной функции, заданной уравнением x²+y²+z² - z=0.

Решение. Обозначим левую часть уравнения через φ (x,y,z) и, пользуясь формулами (3), получим

Частные производные высших порядков

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Они обозначаются:

и т.д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и других высших порядков.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Последовательно дифференцируя, находим

Пример 2. Проверить, что для функции

Решение. Дифференцируя z по x , находим

Дифференцируя z по y, находим

Дифференцируя полученные выражения по y и х, находим смешанные производные:

Следовательно, для этой функции