Вопросы к экзамену по математике 1 курс 1 семестр

Вопросы к экзамену

1. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.

2. Определители. Вычисление определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

3. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы

4. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и матричным методом.

5. Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по ортам координатных осей. Координаты точки. Координаты вектора.

6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Приложения скалярного произведения.

7. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Приложения векторного произведения.

8. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей. Приложения смешанного произведения.

9. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении.

10. Уравнение прямой(на плоскости) проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой в отрезках.

11. Общее уравнение прямой (на плоскости). Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.

12. Эллипс. Гипербола.

13. Парабола.

14. Каноническое и общее уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

15. Канонические и общие уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

16. Прямая и плоскость в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

17. Понятие функции. Основные характеристики функции. Элементарные функции.

18. Определение предела функции. Односторонние пределы функции.

19. Бесконечные пределы функции. Предел функции при , , .

20. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.

21. Основные теоремы о пределах функций.

22. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

23. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.

24. Понятие производной её геометрический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

25. Правила дифференцирования.

26. Теорема о производной обратной функции. Теорема о производной сложной функции.

27. Производная постоянной функции. Производные функций sinx и cosx.

28. Производные функций tgx и ctgx.

29. Производная логарифмической функции. Производная показательной функции.

30. Производные функций arcsinx и arccosx.

31. Производные функций arctgx и arcctgx.

32. Логарифмическая производная

33. Производная функции заданной параметрически.

34. Производные высших порядков

35. Дифференциал функции и независимой переменной.

36. Правила Лопиталя.

37. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функций

38. Максимум и минимум функций. Необходимое и достаточное условия экстремума.

39. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

40. Асимптоты графика функции

Типовые задачи

1. Даны координаты  вершин треугольника   А(2, 1, –2), В(1, 3, –1), С(4, –1, –2). Найти внутренний угол треугольника при вершине A.

2. Найти площадь треугольника  АВС с вершинами  А(-3,8,7) , В(7,1,5), С(-5,10,8).

3. Найти объем пирамиды ABCD с вершинами: А(4,3,1), В(5,5,4), С(3,1,-1), D(2,6,2). 

4. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(2,-2),  В(-4,4), С(-7,2). Найти: уравнение стороны АС, уравнение медианы ВЕ.

5. Исследовать взаимное расположение прямых 3x – 2y + 4 = 0 и 10x + 15y – 3 = 0.

6. Написать уравнение плоскости проходящей через три точки: M₁(4,2,1), M₂( – 1, – 1,2), M₃(3,1,1).

7.Найти производную функции:

8.Найти производную функции:

9.Найти производную функции: