49.Резонанс напряжений и резонанс токов

Резонанс напряжений. Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор,

L = 1/(С),

то угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль, т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно.

В данном случае полное сопротивление цепи Z становится наименьшим, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется активным сопротивлением I_m=U_m/R. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_m), a падения напряжений на конденсаторе (U_c) и катушке индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе, причем может выполняться условие U_c и U_L .>> U_m .

Явление резкого увеличения тока в цепи, содержащей последовательно соединенные L, C и R называется резонансом напряжений (последовательным резонансом). Векторная диаграмма для резонанса напряжений приведена на рисунке.

В случае резонанса напряжений при получим амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе

,

где Q — добротность контура. Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение на катушке индуктивности и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты.

Резонанс токов . Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L. Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U = U_m cos t, то в цепи потечет ток I= I_L+I_C.

Так как напряжения на L и С одно и то же, а ток на индуктивности отстает от напряжения на /2, а ток на емкости опережает напряжение на емкости на /2, т.е. они находятся в противофазе I= I_L-I_C. Если I_L=I_C, то ток в цепи равен I=0.

Для амплитуд токов равенство I_L=I_C можно переписать как U_m/ L=U_m/(1/C), откуда получается выражение для резонансной частоты

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, состоящей из параллельно включенных конденсатора и катушки индуктивности, при приближении частоты  к резонансной частоте _рез называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

При резонансе токов во внешней цепи токи I_L и I_C компенсируются и ток I в подводящих проводах достигает минимального значения. При резонансе токов токи I_L и I_C могут значительно превышать ток I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы.

46. Квазистационарные токи. Электрический колебательный контур. Свободные затухающие и свободные незатухающие колебания в контуре

Переменный ток можно считать квазистационарным, если его изменения происходят достаточно медленно по сравнению с временем распространения электромагнитных возмущений по цепи (скорость которых приблизительно равна скорости света) Т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R, предназначенная возбуждения электромагнитных колебаний, т.е. колебаний при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R=0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ± Q. Тогда в начальный момент времени (рис. 1а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Он начнет разряжаться и в контуре потечет возрастающий со временем ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки возрастать.

Когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а следовательно, и ток достигают наибольшего значения (рис.1б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 1в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t = Т придет в первоначальное состояние (рис. 1г).

После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. 1 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.

Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U_C на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания с периодом T, причем в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, в течение второй половины—в противоположном. Колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Свободные незатухающие колебания

Согласно второму правилу Кирхгофа, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С можно записать

или (1)

где U_c = = q/C — напряжение на конденсаторе, e_s - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока. Следовательно, уравнение (1) можно привести к виду

,

или разделив на L при учете, что I=dq/dt, а dI/dt=d²q/dt² получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре или дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний заряда q в контуре:

(2)

Они происходит с собственной частотой

и следовательно с периодом (формула Томсона)

При этом заряд изменяется по гармоническому закону

Сила тока в колебательном контуре равна

(3)

где 1_т — амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

Из выражения (3) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на /2.

Так как , а с учетом , можно получить что амплитуды напряжения и тока в контуре пропорциональны , а коэффициент пропоциональности называют волновым сопротивлением.

Свободные затухающие колебания

Если в контуре присутствует сопротивление R то на нем выделяется тепло согласно закону Джоуля – Ленца и колебания становятся затухающими. Согласно второму правилу Кирхгофа, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор R можно записать

или (4)

где U_c = = q/C — напряжение на конденсаторе, e_s - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока, IR – падение напряжения на сопротивлении. Следовательно, уравнение (4) можно привести к виду

,

или разделив на L при учете, что I=dq/dt, а dI/dt=d²q/dt² получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре или дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда q в контуре:

(5)

Они происходит с собственной частотой

Здесь , а - коэффициент затухания.

Решение данного уравнения имеет вид , т.е. амплитуда колебаний заряда уменьшается по экспоненциальному закону.

Колебания происходят с частотой

Если ₀<, то колебания прекращаются

Время релаксации колебаний .

Логарифмический декремент затухания имеет вид

Добротность контура