7. Интегрирование иррациональных функций.

прием выделения полного квадрата и замены полного квадрата на новую переменную

подстановка:

подстановка:

подстановка:

, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g

, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g

Выражение вида где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом, интеграл от него решается при помощи подстановки Чебышева.

8. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема

И нтеграл вида , где m, n, p – рациональные числа

выражается через элементарные функции только в следующих случаях:

1. p < 0 – целое Þ x = t ^s, d x = s t ^s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;

2. – целое Þ , s – знаменатель дроби

p = к/s, ;

3. – целое Þ ,

4. s – знаменатель дроби p= к/s,

9. Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a,b]  определена  вещественнозначная  функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка     — конечное множество попарно различных точек отрезка . Это разбиение делит отрезок[a,b] на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков  d = max(Δxi), называется  диаметром разбиения, где Δxi = xi − xi − 1.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке   .  Интегральной суммой называется выражение  .

10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

Определенным интегралом от функции у= на называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (noo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi 0)

если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки

, где - подынтегральная функция.

-подынтегральное выражение.

а- нижний предел интегрирования.

в- верхний предел интегрирования.

d- длина наибольшего из отрезков разбиения.

Геометрический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , y=0, x=a, x=b, на [a, b].

11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.

Признак Римана (теоретически). Для существующего определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Функция Дирихле — функция  , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

.

Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана.

12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

Основные свойства определенного интеграла.

,

, где c-const,

Определенный интеграл от ф-ий:

Адитивность определенного интеграла

Если , то

Монотонность определенного интеграла. если , то

Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, , Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.