23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Функциональные ряды вида , где a_n, z, z₀ – комплексные числа, называются степенными рядами. Числа a_n, n=0,1,2…называются коэффициентами степенного ряда.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при z=z₀, то он сходится и при том абсолютно при любом z, у которого .

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится, тогда его n-ый член стремиться к нулю при и поэтому последовательность

{ } ограничена, т.е. существует такая постоянная M>0, что , а n=0,1,2… В силу этого для n-го члена ряда (1) получается следующая оценка: . Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при . Теорема доказана.

У всякого степенного ряда существует радиус сходимости R. В круге сходимости, т.е. при любом z, у которого , ряд сходится абсолютно. На любом круге , где r фиксировано и r<R, ряд сходится равномерно. Пусть R- радиус сходимости степенного ряда , тогда R = .

24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.

Рядом Фурье для периодической с периодом Т=2п функции у=f(x), определенной на интервале [-п,п], называется тригонометрический ряд. (1)

Коэффициенты и находятся по формулам Фурье Для четной периодической функции все коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по косинусам

Для нечетной периодической функции коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по синусам

25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).

Теорема: Если ф-ия определена на и разлагается в тригонометрический ряд (*), к-е можно почленно интегрировать, то это разложение единственное.

Доказательство: Умножим обе части (*) на , проинтег-ем на . Аналогично умножим (*) на и проинтег-ем. . Умножим (*) на и проинтег-ем на Коэфф-ты рав-ва (*) опр-ся единственным образом такое разложение единственное , , , Теорема доказана.