Проверка гипотезы о независимости двух признаков по критерию Спирмена
Пусть объекты ГС имеют 2 случайных признака А и В, измеряемых в порядковой шкале.
Проверка гипотезы : признаки А и В независимы.
Предварительная обработка выборки.
1) У объектов выборки объёма n из ГС измеряют значения признаков А и В, заполняя 2 и 3 строки таблицы из пункта 2).
Значения каждого из признаков ранжируется независимо от значений другого признака – заполнения 4 и 5 строк таблицы. Затем для каждого из n объектов выборки вычисляют разность
между рангом
по признаку А и рангом
по признаку В - заполнение 6 строки
таблицы. Последняя строка таблицы –
значения
квадратов разностей рангов.
Переход от значений признаков к их рангам позволяет производить арифметические операции, так как ранги - безразмерные величины (иначе, например, как вычитать из роста человека его вес?).
Статистика критерия Спирмена.
Вводится величина
Известно, что
Статистика критерия – ранговый коэффициент корреляции Спирмена
Основа статистики. При прямой зависимости
А и В, когда при возрастании
значений А значения В возрастают,
ранги значений признаков А и В
при всех i
совпадают, все
и
.
Обратно, при
все
и существует прямая зависимость между
А и В.
При обратной зависимости А и В
при возрастании рангов значений А
от 1 до n ранги
значений В убывают от n
до 1,
и
.
Обратно, при
и ранги значений В убывают при
возрастании рангов значений А.
Следовательно, А и В связаны
обратной зависимостью.
При
,
то есть
принимает своё среднее значение
и зависимости между А и В нет.
Таким образом,
гипотеза верна Mp(n) = 0 А и В независимы.
3. По данному УЗ α по таблицам
критических значений статистики Спирмена
для двустороннего критерия находят
и
,
так как распределение
симметрично относительно 0.
4. По выборке находят выборочное значение
статистики критерия. Если
то по двустороннему критерию
принимается. В противном случае
отвергается.
Односторонние критерии применяются аналогично.
Замечание. При больших n
и критические значения статистики
критерия находятся по квантилям
распределения N(0; 1).
Критерий Спирмена широко используется для исследования зависимости психологических признаков.