10. Теоремы теории малых упругопластических деформаций а.А. Ильюшина.

1. Теорема единственности.

При заданных объемных и поверхностных силах, а также перемещениях на части поверхности, НДС тела определяется единственным образом.

Постановка задачи при упругом нагружении:

2. Теорема о разгрузке.

Перемещения точек (деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разности между их значениями в момент начала разгрузки и перемещениями (деформациями и напряжениями), которые возникли бы в нагруженном теле под действием внешних сил равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При этом как нагружение, так и разгрузка должны быть простыми.

Чтобы найти остаточные напряжения, деформации и перемещения необходимо решить упругопластическую и упругую задачи, а затем из одной вы честь другую. Если разгрузка полная, то упругая задача решается при таких же нагрузках, что и упругопластическая

11. Итерационные методы решения задач теории пластичности. Метод переменных параметров упругости. Метод дополнительных напряжений. Метод дополнительных деформаций.

Постановка задачи.

- определяющие соотношения при активном нагружении.

- разгрузка

- уравнения равновесия

- граничные условия

Задача физически нелинейная и решается приближенно с помощью итерационных методов.

Метод переменных параметров упругости.

Основывается на последовательном решении задач теории упругости с изменяющимся модулем упругости.

Алгоритм решения:

1. решение упругой задачи с начальными значениями модуля сдвига. Обычно для решения упругой задачи используется метод конечных элементов, который позволяет свести систему дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.

2. выделяются конечные элементы, в которых начинается пластическое течение материала.

3. для каждого из этих элементов ищется новое значение секущего модуля сдвига ,

снова решается упругая задача с подправленными модулями. повторяется п. 2 и во всех пластических элементах подправляется модуль сдвига. повторяется п. 4. процедура прокручивается до тех пор, пока следующее приближение не будет отличаться от предыдущего меньше, чем на некоторую точность, которую задаем самостоятельно.

Метод дополнительных напряжений.

Основан на последовательном решении упругих задач с добавлением с пластических элементах массовых сил.

Т.о. согласно этому методу задача решается в итерационном режиме, и на каждой итерации находятся дополнительные напряжения и, следовательно, массовые силы.

12. Деформационная теория пластичности анизотропных сред б.Е. Победри. Варианты определяющих соотношений для трансверсально-изотропных и ортотропных материалов. Функции пластичности и их аргументы.

Деформационная теория пластичности анизотропных сред Б.Е. Победри.

Теория основана на введении инвариантов тензоров напряжений и деформаций специального вида: это инварианты, не зависящие от определенной группы преобразований системы координат, эта группа преобразований определяется типом симметрии (анизотропии) среды. Например: группа преобразований систем координат изотропии включает в себя повороты вокруг всех трех осей; группа преобразований систем координат трансверсальной изотропии включает в себя поворот вокруг одной оси (оси анизотропии).

Аналогично для тензора напряжений.

Группа преобразований ортотропии предусматривает только изменение направлений осей на противоположные.

Аналогично инварианты тензора напряжений.

Определяющие соотношения для трансверсально-изотропных и ортотропных материалов.

Трансверсально-изотропная среда:

.

Ортотропная среда:

.

Функции пластичности и их аргументы.

Трансверсально-изотропная среда:

- зависят от инвариантов.

Ортотропная среда:

- зависят от инварианто