Условие
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности.
Решение
Двойственная задача
.
Пусть yn – цены на ресурсы,
Z – выручка от продажи все ресурсов.
Условие: выручка от продажи ресурсов > выручки от реализации товаров
,
Переходим от неравенств к уравнениям, вычитая переменные y4, y5, y6, y7.
.
Решим эту двойственную задачу, используя первую теорему двойственности. Имеем соответствия:
.
Подставляя y4=y5=y3=0, получаем упрощенную систему уравнений:
,
Решая систему, получаем:
Lоптим=1218 – 7х5 – 4х6 – 17х3 – 6х4.
Вывод
Таким образом, в двойственной задаче Zmin=1218 при Y*=(7;4;0;0;0;17;6)
Условие
Определить область устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям запасов ресурсов. В области устойчивости определить план приобретения дополнительных ресурсов, при котором максимально увеличится прибыль от реализации дополнительной продукции, если дополнительно можно приобрести не более 1/3 от первоначально имеющегося объема ресурсов.
Решение
Найдем область устойчивости оценок по отношению к изменениям запасов ресурсов.
.
.
Т.о. область устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запасов ресурсов:
.
В области устойчивости определим величины так, чтобы приращение прибыли было наибольшим:
.
из таблицы: y1=7, y2=4, y3=0.
,
но =0, т.к. данный ресурс в избытке,
,
,
.
Решив систему графически, получим область устойчивости:
Проведем градиент – grad(7;4), затем, перпендикулярно ему, «опустим» линию уровня до точки касания с областью устойчивости. Этой точкой определяется оптимальная комбинация ресурсов для получения максимальной прибыли.
Найдем точки максимума:
,
,
Вывод
Если закупить 42 единицы первого ресурса и 25,125 единиц второго ресурса, то прибыль будет максимальной (394,5 ден.ед.).
Условие
Предположить, что планируемая к выпуску продукция с нечетными номерами и с четными номерами требуется в определенных пропорциях
(числа выбрать самостоятельно). Решить производственную задачу с учетом указанных пропорций графически. Если решение последней задачи окажется не целочисленным, то определить целочисленное решение. Если же решение задачи с учетом заданных пропорций окажется целочисленным, то изменить значения параметров так, чтобы оптимальное решение задачи оказалось не целочисленным, а затем найти целочисленное решение.
Решение
Целевая функция имеет вид:
.
Введем ограничения, связанные с конечностью ресурсов:
.
Пусть предприятие производит комплекты запчастей.
t1 – 1-й комплект : 2 детали 1-го вида и 5 деталей 3-го вида,
t2 – 2-й комплект: 5 деталей 2-го вида и 9 деталей 4-го вида.
По условию:
Имеем:
.
Тогда:
Подставим в целевую функцию. Целевая функция примет вид:
Соответственно система ограничений:
,
.
Сначала решим систему без требования целочисленности. Нарисуем область допустимых значений при условии:
Проведем градиент – gradL(1,42;4,45), затем, перпендикулярно ему, «опустим» линию уровня до точки касания с областью допустимых значений (область U). Получим точку максимума (т.max).
Найдем координаты точки максимума:
-
t1=
1,221035
t2=
1,885421
Но нам нужно целочисленное решение, поэтому мы «вырезаем» полосу по оси t2: 1<t2<2.
Область допустимых значений разбивается на две области (U1 и U2):
,
.
Рассмотрим область U1.
В этой области целочисленное решение получится только в точке с координатами (0;2), т. е. фирме придется отказаться от производства деталей первого комплекта. Тогда фирма получит выручку в размере: L=445*2=890 ден. ед.
Теперь рассмотрим область U2.
Проведем линию уровня 2. Она касается области U2 в точке с координатами (1,62;1).
Снова вырежем полосу: 1<t1<2.
Рассмотрим область U1(1). Линия уровня касается этой области в точке с координатами (1,1).
Lmax=142*1+445*1=387, т.е. прибыль равна 387 ден ед.
В области U1(2) единственная точка с целочисленными координатами (2;0), т е. фирма производит только комплекты 1-го вида. Прибыль тогда равна 142 ден.ед.
Вывод
Так как 142<387<890, фирме будет выгоднее всего отказаться от производства комплектов первого вида (t1=0, t2=2), тогда Lmax =890, при х1=x 3= 0, x2=10, x4=18.
Если же фирма не планирует перестраивать структуру производства, то ей необходимо производить комплекты первого и второго вида в равном количестве (t1=1, t2=1), тогда L=387 при x1=2, x2=5, x3=5, x4=9.
V.