10 Вопрос

Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное число z ∈ Z ⊂R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D -областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и yзаписывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = R²Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н, т.е. V =f(R, Н), которая дает возможность, зная значения независимых переменных R и Н, установитьсоответствующее значение для V.

В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба-Дугласа  , где z -величина общественного продукта, x - затраты труда, y - объем производственных фондов (обычно z и y измеряются в стоимостных единицах, x - в человеко-часах); A, ,  - постоянные. ФункцияКобба-Дугласа является функцией двух независимых переменных: z = f(x, y). Частное значение функции z = f(x, y) при x = x_o, y=y_o обозначается z_o= f(x_o, y_o). Геометрически область определения функции D представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D, во втором случае - открытой.Наподобие того, как функция y = f(x) геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y). Возьмем в пространстве R³ прямоугольную систему координат и изобразим на плоскости Oxy область D. В каждой точке M(x, y)D восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и отложим на нем значение z = f(x, y). Геометрическое место полученных таким образом точек и явится своего рода пространственным графиком нашей функции. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность, поэтому уравнение z = f(x, y) называется уравнением поверхности. Пара значений x и y определяет на плоскости Oxy точку M(x, y), а z = f(x, y) - аппликату соответствующей точки P(x, y, z) на поверхности. Поэтому говорят, что zесть функция точки M(x, y) и пишут z = f(M).

Функция f(M) имеет предел A,  , если разность f(M) - A есть бесконечно малая, когда  = M_oM  0 при любом способе приближения M к M_o(например, по любой линии).

Функция f(x, y) называется непрерывной в точке M_o, если  .

В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b) фондов, R = П/(a+b), т.е. R является функцией трех независимых переменных R = f(П, a, b). Областью определения функции трех переменных является множество точек пространства R³, но непосредственной геометрической интерпретации для функций с числом аргументов больше двух не существует, однако для них вводятся по аналогии все определения (частные производные, предел, непрерывность и т.д.), сформулированнные для f(x,y).

Аналогично определяется функция n независимых переменных

z = f(x₁, x₂,..., x_n).

Областью определения такой функции будет множество D  Rⁿ. Примером функций многих переменных в экономике являются производственные функции. При рассмотрении любого производственного комплекса как открытой системы (входами которой служат затраты ресурсов - людских и материальных, а выходами - продукция) производственная функция выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами. Производственная функция обычно задается уравнением z = f(x₁, x₂,..., x_n), где все компоненты выпуска объединены (по стоимости или в натуре) в одну скалярную величину z, а разнородные производственные ресурсы обозначены как x_i.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом:

.

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

.

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами

.

Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка M_o(x_o, y_o) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x, y) в точке M_o(x_o, y_o) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью

(x_o - , x_o + ; y_o - , y_o+ ),

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y)  f(x_o,y_o) ( f(x,y)  f(x_o,y_o)).

Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критическими. Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но еще не достаточными (они могут выполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы критическая точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия. Сформулируем достаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка M_o(x_o, y_o) - критическая точка функции z = f(x, y), т.е.  , и функция z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки M_o(x_o, y_o). Обозначим    . Тогда:

1) если   0, то функция z имеет экстремум в точке M_o: максимум при A < 0, минимум при A > 0;

2) если   0, то экстремума в точке M_o нет;

3) если  = 0, то требуется дополнительное исследование.