6 Вопрос Свойства определенного интеграла

Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

• Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке 

• Для любых a, b и c

• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

7 Вопрос Функции нескольких переменных

1. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). 

   z=f(x,y)

2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3. Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции 

z=f(x+x, y+y)f(x,y)

Частное приращение функции 

x z=f(x+x)f(x,y)

y z=f(x,y+y)f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

Пример. z=xy. 

x z=(x+x)yxy=yx

y z=x(y+y)xy=xy

z=(x+x)(y+y)xy=yx+xy+yx  y z+x z.

4. Непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x₀,y₀).

Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого  > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству AP < , имеет место неравенство f(x,y)b < .

5. Непрерывная функция

6. Частные производные

8 Вопрос

Я думаю каждый в тетради найдет

9 Вопрос

Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N₀(x₀;y₀) D. Точка N₀(x₀;y₀) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N₀(x₀;y₀), что для каждой точки (x,y), отличной от N₀(x₀;y₀), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)₀;y₀). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x₀;y₀), то N₀(x₀;y₀) - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N₀(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'_x(x₀;y₀)=0, f'_y=(x₀;y₀)=0.

Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума). Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N₀(x₀;y₀) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N₀(x₀;y₀) значения A=f'_x'_x(x₀;y₀), B=f'_x'_y(x₀;y₀), C=f'_y'_y(x₀;y₀)Обозначим  . Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N₀(x₀;y₀) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0.  2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке N₀(x₀;y₀) экстремума не имеет.  3. В случае Δ=0 экстремум в точке N₀(x₀;y₀) может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.

Пример 1. Найти экстремум функции z=3x²y-x³-y⁴

Имеем z'_x=6xy-3x², z'_y=3x²-4y³. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

отсюда получаем точки M₁(6;3) и M₂(0;0).  Находим частные производные второго порядка данной функции:  z'_x'_x=6y-6x, z'_x'_y=6x, z'_y'_y=-12y²

В точке M₁(6;3) имеем: A=-18, B=36, C=-108 отсюда  AC-B²=-18•(-108)•-36²=648, т.е. Δ>0

Так как A<0, то в точке M₁(6;3) функция имеет локальный максимум: z_max=z(6;3)-3•36•3-6³-3⁴=27.

В точке M₂(0;0): A=0, B=0, C=0 и значит, Δ=0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M₂ равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-y⁴<0 при x=0, y≠0: z=-x³>0 при x≠0, y=0. Значит, в окрестности точки M₂(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M₂ функция экстремума не имеет.