1.6. Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно матрицы одного размера. Суммой матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) размера mn называется матрица C=A+B, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij, для i=1,2,…,m; j=1,2,…, n. В частном случае A+0=A.

Аналогично определяется разность двух матриц C=A-B.

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:C2 введена матрица A размера 23, а матрица B также размера 23 – в диапазон A4:C5.

1. Табличный курсор установим в левый верхний угол результирующей матрицы , например, в A7.

2. Вводим формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = A1+A4

3. Скопируем введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы A7:C8. В итоге получим:

Аналогично вычисляется разность.

1.7. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число k называется матрица B=kA, элементы которой b_ij=ka_ij, для i=1,2,…,m; j=1,2,…, n.

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:C2 введена матрица A размера 23. Найдем матрицу C=3A

1. Табличный курсор установим в левый верхний угол результирующей матрицы , например, в E1.

2. Вводим формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = 3*A1

3. Скопируем введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы E1:G3. В итоге получим:

1.8. Умножение матриц

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть A=(a_ij)mn, B=(b_ij)np, тогда размерность произведения AB равна mp. При этом матрица C (размера mp) называется произведением матриц A и B, если каждый ее элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:

, i=1,2,…,m; j=1,2,…, n.

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:D3 введена матрица A размера 34, а матрица B размера 42 – в диапазон A5:B8.

1. Выделяем блок ячеек под результирующую матрицу (32). Например, F1:G3

2. Вставляем функцию.

3. В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Математические и функцию МУМНОЖ.

4. В диалоговом окне МУМНОЖ в поле Массив1 вводим диапазон матрицы A ‑ A1:D3, в поле Массив2 вводим диапазон матрицы B – A5:B8

5. Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В итоге получим:

2. Решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений.

Такая запись называется системой линейных уравнений в нормальной форме.

Эту систему можно записать как AX=B, где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы:

X – матрица-столбец (вектор) неизвестных:

B – матрица-столбец (вектор) свободных членов:

Решение системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец X=A^-1B

Таким образом, для решения системы необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее на справа на вектор свободных членов.

Пример

Пусть необходимо решить систему

1. Вводим матрицу A (в данном случае размера 22) в диапазон A1:B2. Вектор B в диапазон D1:D2.

2. Находим обратную матрицу A^-1

• Выделяем блок ячеек под обратную матрицу (22). Например, A4:B5.

• Вставляем функцию

• В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Математические и функцию МОБР.

• В диалоговом окне МОБР в поле Массив вводим диапазон матрицы A ‑ A1:B2

• Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В итоге получим:

3. Умножением обратной матрицы A^-1 на вектор B найдем вектор X.

• 1. Выделяем блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор X 21). Например, D4:D5

• Вставляем функцию

• В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Математические и функцию МУМНОЖ

• В диалоговом окне МУМНОЖ в поле Массив1 вводим диапазон матрицы A^-1‑ A4:B5, в поле Массив2 вводим диапазон матрицы B – D1:D2

• Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В итоге получим:

Т.е. x=5, а y=-4