Лекция 4

1. Работа с матрицами.

1.1. Определение

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записываются в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными(заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

, где i=1,2,…,m; j=1,2,…, n.

Пример

1.2. Транспонирование матрицы

Транспонированной называется матрица (A^T или A^’), в которой столбцы исходной матрицы (A) заменяются строками с соответствующими номерами. В сокращенной записи, если A=(a_ij), то A^T=(a_ji).

Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (A), к транспонированной (A^T).

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 25.

1. Выделяем блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8

2. Вставляем функцию. Либо с помощью кнопки на стандартной панели, либо Вставка>Функция….

3. В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Ссылки и массивы и функцию ТРАНСП.

4. В диалоговом окне ТРАНСП в поле Массив вводим диапазон A1:E2.

5. Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В итоге получим:

Замечание

CTRL+SHIFT+ENTER – ввести формулу как формулу массива.

Формула массива

Формула массива выполняет несколько вычислений и возвращает либо несколько значений, либо одно значение. Формулы массива обычно обрабатывают один или несколько наборов аргументов, которые называются аргументами массива. При этом все аргументы массива должны быть прямоугольными и иметь одинаковое количество строк и столбцов. Чтобы вернуть несколько значений, формулу необходимо ввести в несколько ячеек. Чтобы ввести формулу массива, нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. MS Excel заключит формулы массива в фигурные скобки({}).

1.3. Определитель матрицы

Важнейшей характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы A обозначается как A или .

С ростом порядка матрицы n резко увеличивается число членов определителя (n!).

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:С3 введена матрица размера 33.

1. Табличный курсор поставим в ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например, в A5.

2. Вставляем функцию.

3. В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Математические и функцию МОПРЕД.

4. В диалоговом окне МОПРЕД в поле Массив вводим диапазон A1:С3.

5. Нажимаем ENTER. В итоге получим:

1.4. Обратная матрица

Обратные матрицы используются, например для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Матрица A^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A если

AA^-1= A^-1A=E

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, в противном случае матрица называется вырожденной или особенной.

Пример

Предположим, что в диапазон ячеек A1:С3 введена матрица размера 33.

1. Выделяем блок ячеек под обратную матрицу (33). Например, A5:С7

2. Вставляем функцию.

3. В диалоговом окне Мастер функций выбираем категорию Математические и функцию МОБР.

4. В диалоговом окне МОБР в поле Массив вводим диапазон A1:C3.

5. Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В итоге получим: