8. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

u=f(M)=f(x₁,x₂,_..,x_n) опред. в окр. т.М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М₀ локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М₀ в кот.при ММ₀ выполняется след. нер-во: f(M)<f(M₀), (f(M)>f(M₀)).

∆u=f(M)-f(M₀)<0, если М₀ т.локал. мах.; ∆u>0, если М₀ т.локал. мin.

Теор.(необход.усл.экстремума).

Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М₀ и М₀ – т.лок. max (min), то в этой точке:

Д ок-во: док-ем, что , u=f(x₁,x₂,_..,x_n)

x₂=x₂⁰, М₀ (x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰).

x₃=x₃⁰,..

x_n=x_n⁰.

u=f(x₁⁰,x₂⁰,_..,x_n⁰) – имеет лок. экстремум в т.М₀ → .

Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.

u=xy², u_x’=y²=0; u_y’=2xy=0; M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.

∆u=u(M)-u(M₀)= xy²>(<)0

Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:

z=1-√x²+y²; z_x’=x/√x²+y²; z_y’=y/√x²+y²; z(0,0)=1; z(∆x,∆y)<1

Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M₀ и т.M₀ – стационар.т., u=f(M) (df(M₀)=0), тогда если для любых dx₁,dx₂,..dx_n не равных одновременно 0:

d²f(M₀)>0, то т.M₀-т.лок.min; d²f(M₀)<0, то т.M₀-т.лок.max;

Д-во: f(M)=f(M₀)+df(M₀)/1!+d²f(N)/2!., ∆f(M₀)=f(M)-f(M₀)=df(M₀)+d²f(N)/2!.

u=f(M) – дважды непр. дифф., d²f(M₀)>0→d²f(N)>0; d²f(M₀)<0→d²f(N)<0;→ ∆f(M₀)>0→

M₀ – т.лок. min; M₀ – т.лок. max;

1. d²f(M₀)>0↔a₁₁>0,

2. d²f(M₀)<0↔a₁₁<0,

Если d²f(M₀) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M₀ экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)>0 то полож.опр.

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)≥0 то казизнакополож.опр

х₁²+2х₁²х₂²+х₂²+(х₁+х₁)²≥0; х₁=-х₂.

9. Условный экстремум, наиб. и наим. значение ф-ции.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

.10.Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции.

y=f(t), кот определ на [a,b].

а<b, τ_n={x₀, x₁, x₂,..,x_n |a=x₀<x_1...<x_n=b|}

Δx_k=x_k-x_k-1-длина отр.[x_k-1,x_k], к=1,n.

λ=max ∆x_k – диаметр разбиения 1≤k≤n

k€ [x_k-1,x_k], k=1,n,

σ_n=f(ε₁)Δx₁+ f(ε₂)Δx₂+..+f(ε_n)Δx_n=∑f(ε_k)Δx_k Интегральн.сумма.

Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τ_n [a,b] и выбора промежуточных точек ε_k то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).

Е сли этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].

R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].

Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.

Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.

A B; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.

Ограниченность ∫-ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τ_n найдется часть от k [x_k-1,x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε_k€[x_k-1,x_k], таким обр, чтобы |f(ε_k)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_x→0 _n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

 1, х – рацион.

D(x)=  0, х – иррац.

D(x) – огр. на [0,1]

ε _k-рац.

ε_k-ирррац

D(x) – не инт. по Р., но она огр.

Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

11. Свойства определенного интеграла

1. f(х)dх=0 2. dх=b – a; f(x)1

3. f(х)dх= - f(х)dх 4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

 a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]

| f(х)dх | |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a)

mf(x)M; x[a,b]

m dх  f(х)dхM dх

m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b

11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то  т. [a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)

Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; x[a,b] mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:

m(b-a) f(х)dхM(b-a), b-a>0

: (b-a) m( f(х)dх) / (b-a))M; ::= f(х)dх) / (b-a)

найдется такая , что f()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д.