Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов – независимых испытаний частота события сходится по вероятности к вероятности события.

Доказательство проводится аналогично теореме Чебышева.

78.Правило 3-х  (трех “сигм”).

_{Пусть имеется нормально распределённая случайная величина  с математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим веро­ятность попадания  в интервал (а – 3; а + 3), то есть вероятность того, что  принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.}

_{P(а – 3<  < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)}

_{По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3.}

_{(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить практически тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)}

Нормальный закон распределения.

_{Если плотность распределения случайной величины  определяется формулой}

_{, (1)}

где а – произвольное число, а  – положительное число, то говорят, что  распределена по нормальному закону или что  “нормальная” случайная величина.

_{Значения а и  полностью определяют функцию р(х). Для неё иногда вводится обозначение: p(x) = n(x;a;).}

83. Независимость случайных величин

 

Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение ( ,  ) по распределениям величин  и  , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины  и  независимы.

Случайные величины  и  называются независимыми, если для любых x₁, x_{2  }R²справедливо равенство:

F_ , (x₁, x₂)= F_x (x₁)F_h ( x₂).

Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно следующему:

случайные величины называются независимыми, если

p_ , (x₁, x₂)= p_  (x₁) p_ (x₂)

во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.

Для дискретных случайных величин  и  с матрицей совместного распределения {p_ij} условие независимости  и  имеет вид:

p_ij = P( = x_i,  = y_j) = P( = x_i) P( = y_j),

для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.