80. Двумерные случайные величины

Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве , называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора. Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин. Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функцией распределения случайных величин X,Y называется .

Свойства функции распределения.

1. (Это – свойство вероятности, а - вероятность).

2. - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если , то событие включено в событие , следовательно, его вероятность меньше)

3. (события - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4. (событие достоверно).

5. = - - +

Г еометрически, - площадь

полосы левее и ниже точки ,

Вычитая из нее и ,

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

п оэтому надо добавить ее, т.е.

в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событие достоверно, то пересечение событий и есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

X	Y
	y1	y2	…..	ym	PX
x1	p11	p12	…	p1m	pX1
x2	p21	p22	…	p2m	pX2
…….	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnm	pXn
PY	pY1	pY2	…	pYm

Здесь p_nm = , p_Ym = = p_1m+ p_2m +…+p_nm,

p_Xn = p_n1 + p_n2 + … +p_nm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на p_ij при переходе через точку (x_{i ,} y_j) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = x_i, то при увеличении y эти скачки будут на p_i1, p_i2, … p_im (от нуля до p_Xi ). Если зафиксировать y = y_j, то при увеличении x скачки будут на p_1j, p_2j, … p_nj (от нуля до p_Yj). Нижние ступени (при x x₁ и y y₁) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>x_n, y>y_m) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > x_n то при увеличении y эти скачки будут на p_Y1, p_Y2, … p_Ym (от нуля до 1). Если зафиксировать y > y_m, то при увеличении x скачки будут на p_X1, p_X2, … p_Xn (от нуля до 1).