Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p,

q = 1 – p(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k)вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. кроме того, пусть P_n(k₁; k₂)– вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где - функция Гаусса

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k₁, k₂) где - функция Лапласа

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) б) при больших верно . Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения q,p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли). При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,97⁹⁹⁹вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона: – среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для и. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

70. Аксиоматическое определение вероятности (по а.Н.Колмогорову).

Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

1. не отрицательность P(A)0, A - сигма – алгебре событий на 

2. нормировка P() = 1

3. расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A₁, … A_n … выполнено

P(A₁+ …+A_n+ …) = P(A₁) + …+P(A_n) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.

Если  состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры  может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.

Вероятностным пространством называется тройка (, , P).

Свойства вероятности

1. . В самом деле, , несовместны. По аксиоме 3 .

2. P() = 0. Так как A A+ = A, по аксиоме 3 P(A+) = P(A) + P() = P(A) P() = 0

3. Если A B, то P(A)  P(B). Так как B = A+ B\A, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(B\A), но по аксиоме 1 P(B\A)0

71-76. Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Здесь - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий . Вероятности этих событий равны соответственно . Будем говорить, что дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями и вероятностями , с которыми эти значения достигаются.

Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд распределения – таблица

		…..
		…..

м ногоугольник распределения

p₃

p₂

p₁, p_n

x₁ x₂ x₃ …x_n

Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости, связывающей значения и вероятности .

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины , поэтому рассматривают события и вероятности этих событий.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называется вероятность события . = .

Свойства функции распределения.

1. по аксиомам вероятности,

2. , если , т.е. функция распределения – неубывающая функция. В самом деле, , следовательно, .

3. В самом деле, событие - невозможное, и его вероятность нулевая. Событие - достоверное, и его вероятность равна 1.

4. . Так как события несовместны и событие есть сумма этих событий, то .

График функции распределения имеет, примерно, следующий вид

F(x)

1

x

Функцию распределения можно определить и для дискретной случайной величины. Ее график будет графиком ступенчатой функции со скачками в p_i в точках x_i , непрерывной слева в этих точках.

F(x)

1

p₃

p₂

p₁

x

x₁ x₂ x₃ x_n

Для непрерывной случайной величины вводится плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения (вероятностей) называется производная функции распределения .

Ясно, что .

Часто функцию распределения называют интегральным законом распределения, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения. Так как , то p(x)dx называется элементом вероятности.

Свойства плотности распределения.

1. , так как функция распределения – неубывающая функция,

2. (условие нормировки) , так как .

Числовые характеристики случайных величин.

Начальный момент s-го порядка

Для дискретных случайных величин .

Для непрерывных случайных величин .

Математическим ожиданием случайной величины называется ее первый начальный момент m_x = M(x) = .

Для дискретных случайных величин . Если на числовой оси расположить точки с массами , то - абсцисса центра тяжести системы точек. Аналогично, для непрерывных случайных величин имеет смысл центра тяжести кривой распределения.

Свойства математического ожидания.

1. M (C ) = C.

Для дискретных случайных величин x = C, p = 1, M (C ) = x p =С.

Для непрерывных случайных величин по условию нормировки для плотности вероятностей.

2. M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретном случае и из под интеграла в непрерывном случае.

3. M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).

4. M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).

Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формулам

для дискретной случайной величины,

для непрерывной случайной величины.

Центрированной случайной величиной называется .

Центральный момент s-го порядка

Для дискретной случайной величины .

Для непрерывной случайной величины .

Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины.

По свойствам математического ожидания получим . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки x_i с массами p_i, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести m_x.

Для дискретных случайных величин .

Для непрерывных случайных величин .

Свойства дисперсии.

1. (под интегралом стоит квадрат функции).

2. ( .

3. (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).