1. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность

Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого ε сущ. N-N(ε); любое n≥N(ε) ≥ p(Mn,A) < ε; ; (число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого ε > 0 сущ. , для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

2. Частные производные

Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.

3.Частные производные сложной функции.

; ; Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет диф. в т. и Док-во: ; ; - дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ; дифф. в т. ; ; ; ; ; ; ; ; - свойство инвариантности формы первого дифф.

Неявные функции и их дифференцирование.

переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у, ... , задается посредством функционального уравнения F(u, х, у, ...) = 0.(1) В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у, ... задана неявно. Так, например, функция u = - , рассматриваемая в круге x² + y² ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения F(u, х, у) = u² + x² + y² – 1 = 0.(2) Теорема 1. Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M₀(u₀, х₀, у₀) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M₀. Тогда, если в точке M₀ функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M₀’(х₀, у₀) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u₀ | < ε и является решением уравненияF(u, х, у) = 0 (3) причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M₀’.

4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .

Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.

;

; ;

5. Производная по нарправлению и градиент

Градитентом ф-ции в т M(x₁, …, x_n)= будем называть вектор, координаты которого есть ч. произв. Этой ф-ции по переменной x₁, …, x_n соотв. вычесленные в рассматриваемой т. Таким образом

Производная по направлению:

Предп., что в пространстве R³ задан . Пусть далее рассм. т. M₀(x₀,y₀,z₀), а т M – т., полученная в результате приращения т. М вдоль направления l.

6-7. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

f (x,y)=f(x₀,y₀)+A∆x+B∆x+o(ρ); z₀=f(x₀,y₀); z=f(x,y); ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀,y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x,y) (x₀,y₀,z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀,y₀,z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀,y₀,z₀)