Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у₁). Для этого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х₁, Х = х₂,…, Х = х_п, а событием А – событие Y = у₁. При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,

                                    .

Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

                                    .                                                  (8.5)

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

                                   .                                                      (8.5`)

Пример. Найдем закон распределения Х при условии Y = -0,8 и закон распределения Yпри условии Х = 3 для случайной величины, рассмотренной в примере 1.

     

    

   

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины.

Определение 8.3. Условной плотностью φ(х/у) распределения составляющих Х при данном значении Y = у называется

                                      .                                    (8.6)

  Аналогично определяется условная плотность вероятности Y  при Х = х:

                                            .                                 (8.6`)

     

Равномерное распределение на плоскости.

   

Система двух случайных величин называется равномерно распределенной на плоскости, если ее плотность вероятности f(x, y) = const внутри некоторой области и равна 0 вне ее. Пусть данная область – прямоугольник вида  Тогда из свойств   f(x, y) следует, что           

Найдем двумерную функцию распределения:

 при a < x < b, c < y < d, F(x, y) = 0 приx ≤ a или  y ≤ c, F(x, y) = 1 при x ≥ b, y ≥ d.

Функции распределения составляющих, вычисленные по формулам, приведенным в свойстве 4 функции распределения, имеют вид:   

Лекция 9.

Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантиль, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин.

Определение 9.1. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется матема-тическое ожидание величины X^k:

                                         ν_k = M (X^k).                                                                    (9.1)

В частности, ν₁ = М(Х),  ν₂ = М(Х²). Следовательно, дисперсия   D(X) = ν₂ – ν₁².

Определение 9.2. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х – М(Х))^k:

                                   μ_k = M((Х – М(Х))^k).                                                         (9.2)

В частности, μ₁ = M(Х – М(Х)) = 0, μ₂ = M((Х – М(Х))²) = D(X).

Можно получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты: