25. Случайные события. Пространство элементарных событий. Теорема умножения вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого эксперимента. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи.

Совокупность элементарных событий обозначается Ω и называется пространством элементарных событий.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 — р)n

Пример 3. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?

Решение: Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В. По формуле (5) имеем

Н о Р(А)=3/10; РA(В)=2/9, поскольку после того, как был вынут первый белый шар, в урне осталось 9 шаров, из которых 2 белых. Следовательно,

Пример 2. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7. Найти: 1) вероятность р того, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего. Решение: 1) Искомую вероятность р находим по формуле (10):

2 ) Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для первого станка равна 1—0,9=0,1, для второго и для третьего станков она соответственно равна 1—0,8=0,2 и 1—0,7=0,3. Тогда вероятность того, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, на основании формулы (10) составляет

Событие A, заключающееся в том, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, противоположно событию , состоящему в том, что по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего. Поэтому по формуле (3) получаем

26. Случайные события. Пространство элементарных событий. Схема независимых испытаний Бернулли.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого эксперимента. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи.

Совокупность элементарных событий обозначается Ω и называется пространством элементарных событий.

Одинаковые, независимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается событие А наступающее с вероятностью р.

Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность наступлении (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают p=P(Y), а не наступление (неудачи) его P(H)= q=1-p. Я. Бернулли установил, что вероятность ровно k успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

г де k успехов в n испытаниях.

27. Дискретные случайные величины. Функция распределения. Закон распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение)

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

где р₁+ р₂+…+ р_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:F(x)=Р(Х<х)

Функция F(x) называется также интегральной функцией распределения

или интегральным законом распределения.

Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М(Х)=∑ x_iр_i= x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

ⁱ⁼¹

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

6)Дисперсия константы = 0

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C²•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:D(X)=M(X²)-(M(X))², где М(Х)=∑ x_i²р_i= x₁²р₁ + x₂²р₂+…+ x_n²р_n

_{Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).}

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

27. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение)

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х R

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:F(x)=P(X<x),где х R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х R

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:F(x)=P(X<x),где х R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

• Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

^-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

• Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

_+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)²)•f(x)dx, или

^-∞_+∞

D(X)= ∫ х²•f(x)dx- (М(х))²

^-∞

• Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством: