Вопрос 26.
Деревья, основные определения. Понятие бинарного дерева. Способы представления деревьев.
Дерево - граф без цикла
- динамическая структура
Дерево состоит из вершины и одного или нескольких поддеревьев, каждое поддерево в свою очередь является деревом.
Узел дерева – элемент, который имеет выше или ниже стоящие элементы.
Лист дерева – элемент, который не имеет поддеревьев.
Корень дерева – самый верхний элемент
Самые простые из деревьев считаются бинарные деревья.
Бинарное
(двоичное) дерево -
это упорядоченное дерево, каждая вершина
которого имеет не более двух поддеревьев,
причем для каждого узла выполняется
правило: в левом поддереве содержатся
только ключи, имеющие значения, меньшие,
чем значение данного узла, а в правом
поддереве содержатся только ключи,
имеющие значения, большие, чем значение
данного узла.
Бинарное дерево
является рекурсивной структурой,
поскольку каждое его поддерево само
является бинарным деревом и, следовательно,
каждый его узел в свою очередь является
корнем дерева.
Узел дерева, не
имеющий потомков, называется
листом.
Схематичное
изображение бинарного дерева:
Бинарные деревья достаточно просто могут быть представлены в виде списков или массивов. Списочное представление бинарных деревьев основано на элементах, соответствующих узлам дерева. Каждый элемент имеет поле данных и два поля указателей. Один указатель используется для связывания элемента с правым потомком, а другой √ с левым. Листья имеют пустые указатели потомков. При таком способе представления дерева обязательно следует сохранять указатель на узел, являющийся корнем дерева.
Структура данных для дерева:
type
pEl=^El;
El=record
d:integer;
left, right:pEl;
end;
var
pTop :pEl;
procedure CreateTree;
begin
pTop:=nil;
end;
procedure Add(var a:pEl; x:integer);
begin
If a<>nil then
begin
If a.d>=x then
begin
If a.left=nil then
begin
New(a.left);
a.left.left:=nil;
a.left.right:=nil;
a.left.d:=x;
end
else
Add(a.left,x);
end
else
begin
If a.right=nil then
begin
New(a.right);
a.right.left:=nil;
a.right.right:=nil;
a.right.d:=x;
end
else
Add(a.right,x);
end
end
else
begin
New(a);
a.left:=nil;
a.right:=nil;
a.d:=x;
end;
end;
procedure ShowTree(a:pEl;k:integer);
var S:String;
i:integer;
begin
k:=k+7;
If a.right<>nil then ShowTree(a.right,k);
S:='';
for i:=1 to k-7 do S:=S+' ';
S:=S+IntToStr(a.d);
Form1.Memo1.Lines.Add(S);
If a.left<>nil then ShowTree(a.left,k);
k:=k-7;
end;
Вопрос 27.
Бинарное дерево. Способы прохождения дерева.
Бинарное дерево-это конечное множество элементов, которое либо пусто, либо содержит один элемент, называемый корнем дерева, а остальные элементы множества делятся на два непересекающихся подмножества, каждое из которых само является бинарным деревом.
Эти подмножества называются левым и правым поддеревьями исходного дерева.
Каждый элемент бинарного дерева называется узлом дерева.
Обход бинарного дерева означает систематическое перечисление всех узлов для выполнения необходимой функциональной обработки. Наиболее известны и практически важны 3 способа прохождения, которые отличаются порядком и направлением обхода бинарного дерева. Можно проходить узлы в прямом порядке (сверху-вниз), в симметричном порядке (слева-направо) и, наконец, в концевом порядке (снизу-вверх). Рекурсивные алгоритмы прохождения каждого дерева по каждому из способов включают 3 одинаковых процедуры, где нужно найти корень поддерева, левое поддерево текущего корня и правое поддерево текущего корня. Направление обхода однозначно определяет последовательность выполнения указанных процедур. Последовательность их рекурсивного вызова для каждого способа прохождения перечислена в следующей таблице.
Порядок прохождения |
||
Прямой (префиксный) |
Симметричный (инфиксный) |
Концевой (постфиксный) |
|
|
|
procedure ShowTree(a:pEl);
begin
If a.left<>nil then ShowTree(a.left);
Form1.Memo1.Lines.Add(a.d);
If a.right<>nil then ShowTree(a.right);
end;