Понятие функциональной, статистической и корреляционной зависимости.

Две случайные величины и могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, либо быть независимыми.

Зависимость величины от называется функциональной, если каждому значению величины соответствует единственное значение .

Строгая функциональная зависимость в окружающем нас мире встречается редко, так как обе величины и , или одна из них , подвержены еще действию случайных факторов. Если среди этих факторов есть общие для обеих величин, то в этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

Если изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины, то такая зависимость является корреляционной.

Условным средним называют среднее арифметическое значений , соответствующих значению .

Например, пусть при случайная величина приняла значения , , . Тогда условное среднее равно .

Если каждому значению соответствует одно значение условной средней, то условная средняя есть функция от . В этом случае говорят, что случайная величина зависит от корреляционно.

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Уравнение называют уравнением регрессии на , а ее график – линией регрессии на .

Аналогично определяется условная средняя и корреляционная зависимость от .

Условным средним называется среднее арифметическое значений , соответствующих .

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Уравнение называют уравнением регрессии на , а ее график – линией регрессии на .

Корреляционный анализ рассматривает две задачи.

Первая задача теории корреляции – установить форму корреляционной связи, то есть вид функции регрессии (линейная, квадратичная и так далее).

Вторая задача теории корреляции – оценить силу (тесноту) корреляционной связи. Теснота корреляционной связи (зависимости) на оценивается по величине рассеивания значений вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости от , малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости.

§ 2. Условные средние

В качестве оценок условных математических ожиданий (см. гл. XIV, § 15) принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений (по выборке).

Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х = х. Например, если при х₁=2 величина Y приняла значения y₁=5, y₂=6. y₃=10, то условное среднее =(5+6+10)/3=7.

Аналогично определяется условное среднее .

Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений X, соответствующих Y==y.

§ 3. Выборочные уравнения регрессии

В гл. XIV, § 15 были введены уравнения регрессии Y на Х и Х на Y:

М(У|х)=f(х), М(Х|у)=φ(у).

Условное математическое ожидание М (Y | х) является функцией от х, следовательно, его оценка, т. е. условное среднее , также функция от х; обозначив эту функцию через f* (х), получим уравнение

= f*(х).

Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на X; функцию f*(х) называют выборочной регрессией Y на X, а ее график—выборочной линией регрессии Y на X. Аналогично уравнение

= φ*(y)

называют выборочным уравнением регрессии Х на Y; функцию φ*(y) называют выборочной регрессией Х на Y, а ее график—выборочной линией регрессии Х на Y.

Как найти по данным наблюдений параметры функций f*(х) и φ*(y), если вид их известен? Как оценить силу (тесноту) связи между величинами Х и Y и установить, коррелированы ли эти величины? Ответы на эти вопросы изложены ниже.