[Править]Парная и множественная регрессия

В частном случае, когда фактор единственный (без учета константы), говорят о парной или простейшей линейной регрессии:

Когда количество факторов (без учета константы) больше 1-го, то говорят о множественной регрессии.

Если обе линии регрессии Y на X и X на Y—прямые, то корреляцию называют линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

Где y_x—условная средняя; х и у—выборочные средние признаков X и Y; δх и δу—выборочные средние квадратические отклонения; r_B—выборочный коэффициент корреляции, причем

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на У имеет вид

Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде

корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целе­

сообразно перейти к условным вариантам:

где C_i—«ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять рарианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать

в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); h1—шаг, т. е. разность между двумя соседними вариантами X; С2—ложный нуль вариант Y; h2—шаг вариант h2.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

причем слагаемое Σ n_uvuv удобно вычислять, используя расчетную

табл. 7 (см. далее решение задачи 535). Величины u(среднее), V(сред), δ_u δ_v могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам:

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии

(*) и (**) величины по формулам:

44. Случайные числа. Генератор псевдослучайных чисел. Метод Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло для вычисления определенного интеграла.

Генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ, англ. Pseudorandom number generator, PRNG) — алгоритм, порождающий последовательность чисел, элементы которой почти независимы друг от друга и подчиняются заданному распределению (обычно равномерному).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется

найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью вы­

бирают такую случайную величину X, математическое ожидание

которой равно а: М(Х) = а.

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных знач

Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину. В этом параграфе требуется разыграть дискретную случайную

величину X, т. е. вычислить последовательность ее возможных значений Xi(i=l, 2, . . . )» зная закон распределения X. Введем обозначения: R—непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 1); r_i(i= 1, 2, . . . ) — случайные числа (возможные значения R).

Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину X, заданную законом распределения

X Х1 Х2 … Xn

Р P1 Р2 … Рn

надо:

1. Разбить интервал (0, 1) оси Or на n частичных интервалов:

∆i—(0; P1). ∆2—(P1; Р1 + Р2). . . . . ∆n—(Pi+P2+...+Pn-1; 1).

2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное

число r_i.

Если r_i попало в частичный интервал ∆i, то разыгрываемая величина приняла возможное значение x_i.

А. Способ усреднения.

В качестве оценки определенного интеграла I=интегр от а до b от ϕ(x)dx принимают

где n — число испытаний, Xi — возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, b); их разыгрывают по формуле

где r_i — случайное число.

Дисперсия δ² усредняемой функции (b -а)ϕ(Х) равна

где S—площадь области интегрирования; N—число случайных точек (хi, yi), принадлежащих области интегрирования. Если вычислить площадь S трудно, то в качестве ее оценки можно принять S*=N/n; в этом случае формула (*) имеет вид

где п—число испытаний

.

где V—объем области интегрирования, N—число случайных точек (xi, yi. Zi) принадлежащих области интегрирования. Если вычислить объем трудно, то в качестве его оценки можно принять V*=N/n; в этом случае формула (**) имеет вид

где п—число испытаний.

Б. Способ существенной выборки, использующий вспомогательную плотность распределения». В качестве оценки интеграла

хi—возможные значения X, которые разыгрывают по формуле

Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение f(x)/ϕ{x) при различных значениях х изменялось незначительно. В частности, если f(x) = 1/(b — а), получим оценку Ii*.

В. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади. Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: 0 < ф (х)< с , а двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием (b—а) и высотой с.

Тогда двумерная плотность вероятности f (х, y)=1/(b—а) с для точек, принадлежащих D; f (х, у ) = 0 вне D.

где п—общее число случайных точек (xi, yi), принадлежащих D; n1 — число случайных точек, которые расположены под кривой у = Ф(х).

Г. Способ «выделения главной части». В качестве оценки интеграла

где Xi—возможные значения случайной величины X, распределенной

равномерно в интервале интегрирования (а, b), которые разыгрывают

по формуле Xi=a+(b—а) ri; функция g(x) примерно равно ф(x), причем

интеграл от а до b от g (х) 6х можно вычислить обычными методами.