1) Оценка импульсной характеристики однолучевого канала связи.

Рассмотрение начнем с самого простого случая, когда канал можно считать частотно-неселективным, а последовательность обучающих сигналов содержит всего один импульс. В этом случае принятый сигнал можно записать в виде, аналогичном (2.4.1):

, (8.1.1)

где h(0) – комплексный канальный коэффициент, s – известный обучающий сигнал, z – шум приемника. Будем считать дисперсию коэффициента h(0) равной единице (<|h(0)|²>=1), а шум некоррелированным комплексным гауссовским процессом с нулевым средним и дисперсией .

Из (8.1.1) следует, что ОСШ равно . В отличие от (2.4.1), в (8.1.1) не входит множитель . Вместо этого предполагается, что сигнал s имеет амплитуду, отличную от единицы и зависящую от мощности.

Плотность вероятности шума имеет вид:

. (8.1.2)

Принятый сигнал (8.1.1) также будет гауссовским процессом со средним и дисперсией . Поэтому плотность вероятности сигнала равна

.

Наша задача заключается в том, чтобы сделать оценку канального коэффициента h(0), если принятый сигнал имеет некоторое значение x. В этом случае функция f(x) в (8.1.3) имеет смысл функции правдоподобия относительно единственного неизвестного параметра h(0). Метод максимального правдоподобия, который мы применяем, требует выбрать параметр таким образом, чтобы функция правдоподобия принимала максимальное значение. Это имеет место, при условии минимума величины в (8.1.3). Имеем, что

. (8.1.4)

Найдем производную от выражения (8.1.4) по неизвестному параметру h(0) и приравняем ее к нулю. В результате получим, что . Отсюда для оценки канального коэффициента h(0) будем иметь

. (8.1.5)

Оценка (8.1.5) является случайной величиной, так как зависит от принятого сигнала x. Подставляя (8.1.1) в (8.1.5), будем иметь

. (8.1.6)

Так как шум имеет нулевое среднее, оценка канала является несмещенной, т.е. . Для дисперсии оценки из (8.1.6) получим, что

. (8.1.7)

где  - ОСШ. Отсюда следует, что дисперсия оценки обратно пропорциональна ОСШ и точность оценивания канала зависит только от ОСШ.

В ряде случаев системы связи способны работать при низком ОСШ. Поэтому точность оценивания канала может быть недостаточной, если передается только один обучающий сигнал. Рассмотрим ситуацию, когда для оценки канала применяется последовательность известных сигналов длительностью L. В этом случае приемник регистрирует последовательность сигналов

, (8.1.8)

где k – индекс дискретного времени, s(k) - k-ая выборка обучающей последовательности, z(k) - k-ая выборка собственного шума.

Уравнение (8.1.8) удобно записать в векторной форме. Для этого введем вектор принятых сигналов , вектор сигналов обучающей последовательности и вектор шума . Таким образом, эти векторы представлены в виде векторов-столбцов размерности L. Теперь (8.1.8) представим в эквивалентном виде:

. (8.1.9)

Поскольку шумовые выборки статистически независимые их многомерная плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей вероятности вида (8.1.2). Следовательно,

. (8.1.10)

Учитывая, что , (8.1.10) перепишем в виде

. (8.1.11)

Многомерную плотность вероятности для принятых сигналов найдем из (8.1.9) и (8.1.11). В результате будем иметь, что

. (8.1.12)

Снова рассмотрим выражение (8.1.12), как функцию правдоподобия относительно неизвестного параметра h(0). Тогда оценка максимального правдоподобия может быть представлена следующим уравнением

. (8.1.13)

Переходя к компонентам векторов, выражение (8.1.13) запишем с помощью сигнальных выборок:

. (8.1.14)

Чтобы определить точность оценивания канального коэффициента, подставим (8.1.9) в (8.1.13) и получим, что

. (8.1.15)

Несложно увидеть, что канальная оценка (8.1.15) является несмещенной, как и в случае одного обучающего сигнала. Однако дисперсия этой оценки становится меньше. Это можно показать следующим путем. Из (8.1.15) находим, что

. (8.1.16)

Поскольку выборки шума не коррелированны, корреляционная матрица шума <ZZ^H>=₀²I, где I – единичная матрица. Теперь (8.1.16) преобразуется к виду

. (8.1.17)

где - ОСШ для k-го обучающего сигнала.

Эта формула показывает, что дисперсия канальной оценки обратно пропорциональна ОСШ, просуммированному по всем сигналам обучающей последовательности. Если сигналы имеют одинаковую амплитуду, то дисперсия оценки (8.1.17) меньше в L раз, чем дисперсия оценки (8.1.7).