ТФКП-4sem

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

дифференцируемую функцию f(z), если

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

343.97 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Вариант 1


1.	Представить в алгебраической форме							(1+i)100
1.	Представить в алгебраической форме						(1 i)96 i(1+i)98 .
2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = ( 1 +
	p	3) + i(1 + p
	p	3) + i(1 + p		3).
3.	Представить в алгебраической форме						p5		.
3.	Представить в алгебраической форме						p5	32i4	.
4.	Представить в аëгебраической и показательной фор-
	ìå z = ( 1 + ip3) 3i.

5.	Найти дифференцируемую функцию f(z), если
	Im f(z) =				y
						; f(0) = 1.
			(x+1)2+y2			; f(0) = 1.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение arg f(z).

7.Найти вершины правильного n-угольника, если его

центр находится в точке z = 0, а одна из вершин z1 известна.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 1g на полуплоскость fIm ! > 0g так, чтобы !(2) = i; arg !0(2) = =2.

Найти образы а) прямой x + y = 2; б) окружности jz 1j = 1.

9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; x > 0g с разрезом по лучу [1; +1) на правую полуплоскость.

10.Найти образ комплексной плоскости с разрезами по лучам ( 1; 1] и [1; +1) при отображении ! = Arcsin z.

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезкам [ 1; 1] и [ i; i] (внешность креста) на внешность единичного круга fj!j > 1g.

12.	Конформно отобразить область fjzj < 1;							jz + 1j >
	1; Im z > 0g на внешность круга j!j > 2.
	Найти интегралы
13.	R		1 + i до точки 1 + i.
13.			Re(sin z) cos z dz, где C отрезок прямой, от точки
	C

14.	R	(z9 + 1) dz, где C парабола y = x2, от точки 0 до
	R				1 + i.
	C
	точки
	R			ez				5
15.	R						dz, где C окружность а) jzj = 2 ; á) jz
15.	C	j		(z2+4)(z 3)			dz, где C окружность а) jzj = 2 ; á) jz
	2	j	= 2.
	2		= 2.
16.	jz Rj					z2+1
	jz Rj				(z 2)2(z+3) dz.
			2 =1		(z 2)2(z+3) dz.
			2 =1

Вариант 2

1. Представить в алгебраической форме	p3i 1	12
1. Представить в алгебраической форме	p3i 1	.
	4

2. Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = 5 + 3i.

3. Представить в алгебраической форме 8 256 i8.

4.Представить в алгебраической и показательной фор-

p 1 i

jf(z)j = ex2 y2 .

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства y = cx сохраняет сво¼ значение Re f(z).

7.Точки z1 è z2 смежные вершины правильного n- угольника с центром в точке z = 0. Найти вершину z3, смежную с z2 (z3 6= z2).

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на область fj!j > 2g так, чтобы !(i) = 4; arg !0(i) = 0.

Найти образы а) прямой y = 1; б) мнимой оси; в) окружности jzj = 1.

9.Конформно отобразить область f4x2 + y2 > 4; z 2= [2i; 3i]g на единичный круг fj!j < 1g.

10.Найти образ области f0 < Re z < 1; Im z > 0g при отображении ! = tg z.

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по лучам [ 1; 1], [1; +1], [ i1; i] и [i; +i1] на внешность единичного круга fj!j > 1g.

12.Конформно отобразить область fjzj < 2; jz 5=2j > 3=2g с разрезом по отрезку [0; 1] на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.

Найти интегралы

13. jzj arg z dz, где C контур, состоящий из дуги

окружности z = 4ei'; 0 ' и отрезка действительной оси 4 x 4.

14. R (z5 +sin z) dz, где C левая дуга окружности jz ij =

1, от точки 0 до 2i.

15. R 2 ez dz, где C окружность а) jz 5ij = 1; б)

(z +5)(z+1)

jz + 1 5ij = 6.

16.	jz Rj	z2+2	dz.
	jz Rj	(z 3)2(z+4)
		(z 3)2(z+4)
	3 =1

Вариант 3

Предстàâèòü

алгебраической

форме

(p3+i)1000

73 .

(1 i 3)

i( 3 i)

Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 2i è z2 = (1

3) + i(2 + p

3).

3.Представить в алгебраической форме 6 729 i6.

4.Представить в алгебраической и показательной фор-

ìå z = 1 i 1+i.

5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = r ln r cos ' 'r sin '.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = cx сохраняет сво¼ значение Re f(z).

7.Даны три вершины параллелограмма z1; z2; z3. Найти четвертую вершину z4, противоположную вершине z2.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 2g на область fj!j > 1g так, чтобы

!(1) = 2; arg !0(1) = =2.

Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jzj = 1.

9.Конформно отобразить область fx2 y2 < 1g на область f0 < arg ! < =4g.

10. Найти образ области fRe z > 0; 0 < Im z < 1; z 2=

[2i ; 1+2 i ]g при отображении ! = ch z.

11.Конформно отобразить внешность единичного круга

с разрезами по отрезкам 1 jzj , arg z = 2k =n (k = 0; 1; : : : ; n 1) на внешность единичного круга fj!j > 1g.

12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 5=4j < 3=4; Im z > 0g на внешность единичного круга j!j > 1.

Найти интегралы

13.R Re zz dz, где C лежащая в первом квадранте дуга

единичной окружности от точки 1 до точки i.

14.	(z2		+ 3z + 1) dz, где C дуга параболы y = x2, îò
R				0 äî 1 + i.
C
точки
Rz				ez		4j = 1; á)
Rz		(z2	4		3i = 5.
15.		(z2	+3)(z 4) dz, где C окружность а) jz
C					j
j					j
jz Rj					z2
jz Rj				(z 4)2(z+1) dz.
16.				(z 4)2(z+1) dz.
		4 =1

Вариант 4

				5		9	p		9

1.	Представить в алгебраической форме			(1+i)		(i	69 3)			.

					(1 i)
2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = (1
	p	3) + i(1 + p
			3).
3.	Представить в алгебраической форме			p6				.
					343 i6

4.Представить в алгебраической и показательной форме z = (1 i)4+5i.

5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = x3 3xy2 + 1; f(0) = 1.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.При каком условии три попарно не совпадающие точ- êè z1; z2; z3 не лежат на одной прямой?

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! > 0g

так, чтобы !(i) = i; arg !0(i) = =2.

Найти образы а) прямой y = 1; б) луча x = 0; y 0; в) окружности jz i=2j = 1=2.

9.	Конформно	отобразить область				fx2=9 + y2=16 >
	1; z 2= [3; 6];	z 2= [ 6; 3]g на верхнюю полуплоскость
	fIm ! > 0g.
10.	Найти образ	области			fjzj < 2; jz	1j > 1g	ïðè îòîá-
			z
	ражении ! = sin			.
			z 2

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по лучу [ a; +1]; (a 0) и отрезку [ ci; ci]; (c > 0) на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Конформно отобразить область fjzj > 2; jz 5=2j < 3=2g с разрезом по отрезку [5=2; 4] на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.

Найти интегралы
R			2 + 2i до точки 2 + 2i.
13.			Re(sin z) cos z dz, где C отрезок прямой, от точки
C

14.			eiz cos 2z dz, где C правая дуга окружности jz
Ri					1			до точки .
C
		j = 2 от точки 0						i
	2	j = 2 от точки 0						i
R					ez
15.							dz, где C окружность а) jz + 2j = 1; б)
15.				(z2 4)(z+5)			dz, где C окружность а) jz + 2j = 1; б)
C
jz + 5j = 4.
				Rj		z2+3
jz				Rj
16.					(z+2)2(z+4) dz.
		+2 =1

Вариант 5

					p			6	(112i		p	9
					p			6			p	9
1.	Представить в алгебраической форме				(		3+i)				3)
1.	Представить в алгебраической форме											.
								(1 i)
2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 3i è z2 = (3 +
	p		p	.
		3) + i(1 3	3)		p3
										.
3.	Представить в алгебраической форме					125 i3				.

4.Представить в алгебраической и показательной фор-

1 i

ìå z =	1+i		.
	p
		2
5. Найти	дифференцируемую функцию f(z), если
	r2 cos 2'.
jf(z)j = e

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение Im f(z).

7.При каком условии четыре попарно не совпадающие точки z1; z2; z3; z4 лежат на одной окружности или прямой?

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 1g на область fRe ! + Im ! > 0g так, чтобы !(0) = 1 + i; !0(0) > 0.

Найти образы а) вертикального диаметра; б) окружности jz + 1=2j = 1=2.

9. Конформно отобразить область fx2 y2 > 1=2; y > 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.

10.Найти образ первого квадранта при отображении ! = Arsh z.

11.Конформно отобразить на внешность единичного круга плоскость с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней половине единичной окружности.

12. Конформно отобразить область fjzj > 1; jz + 1j < 1; Im z < 0g на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.

Найти интегралы
13.	z Re z2 dz, где C отрезок прямой от точки 0 до
R				1 + i
C
точки						.
14.	ez dz, где C отрезок прямой от точки 3+i до точки
R
C
1 + 2i.
Rz				ez			окружность а) jz + 5j = 1; б)
Rz		+ 3 = 3.
15.	(z2 1)(z+5) dz, ãäå C
C			j
j		Rj	j
					z2+2
jz
16.	+3 =1			(z+3)2(z2+4) dz.
	+3 =1

Вариант 6

1.	Представить в алгебраической форме				(1+i123)(1+i)8
						(1 ip
							3)5		.
2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1
	p		p	.
	3	3) + i(3 3 3)			p6
3.	Представить в алгебраической форме							.
						64 i12

4.Представить в алгебраической и показательной форме z = ( 3 + 4i)1+i.

5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если

Im f(z) = 2' ln r.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ' r = c сохраняет сво¼ значение arg f(z).

7.Найти sin z sin 2z + + ( 1)n+1 sin nz.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на область fj!j < 1g так, чтобы !(5i=4) = 1=2; !0(5i=4) > 0.

Найти образы а) луча fx = 0; y 1g; б) окружности jzj = 5=4.

9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 < 1g на верхнюю полуплоскость.

10. Найти образ круга jzj < 1 при отображении ! = 2z

z +1 .

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезку [ i; 0]; ( > 1) и по нижней половине единичной окружности jzj = 1; arg z 0 на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Полуплоскость Re z > 0 с выкинутым кругом jz hj < 1 (h > 1) конформно отобразить на кольцо 1 < j!j < 2. Найти h.

Найти интегралы

1 = 1

13.

C jzj dz, где C контур, состоящий из верхней дуги

окружности

и отрезка действительной оси

0 x 2.

14.

(cos z + z5) dz, где C парабола y = x2 + 1 от точки

Ri до точки 2 + 2i.

15.

окружность а) jz + 2j = 1; б)

+ 2 + 3i = 4.

(z2+3)(z+2) dz, ãäå C

16.

z2+4

(z+4)2(z2+1) dz.

+4 =1

Вариант 7

Вариант 8

(i6+ip

3)100

Представить

1. Представить в алгебраической форме

(1+i)12 1.

алгебраической

форме

i999

10 .

2 i

(

3+i)

+(1+i) (1+i

1+2i

2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i; z2 = ( 1
	p	p		.
	3 3) + i(		3 3)		p3
							.
3.	Представить в алгебраической форме					216 i3	.

4.Представить в алгебраической и показательной форме z = ( 3 + 4i)1+i.

5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = ln2 r '2.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства y = cx сохраняет сво¼ значение Im f(z).

7. Доказать, что Arctg z =	i	Ln i+z	=	1	Ln 1+iz
				2i
2		i z			1 iz

8. Найти функцию !(z), конформно отображающую область fRe z < 1g на область j!j > 1 так, чтобы

!(0) = 2; arg !0(0) = 0

Найти образы а) мнимой оси; б) окружности jz 1j = 1.

9.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fx2 y2 < 1g на круг fj!j < 1g так, чтобы

!(0) = 0; !(1) = 1.

10.Найти образ области fRe z > 0; 1 < Im z < 0g при отображении ! = ch z.

Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1

3) + i(3 + p

3).

Найти все значения

81 i4

Представить в аëгебраической и показательной фор-

ìå

3+2i.

z = ( 1 i

Найти

дифференцируемую функцию f(z), если

Im f(z) = 1

; f(1) = 1 + i.

x2+y2

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = cx сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.При каких z все значения функции Arcsin z действительны?

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fRe z > 1g на область fj!j < 1g так, чтобы !(0) = 0; arg !0(0) = .

Найти образы а) луча y = 0; x 1; б) окружности jz 1j = 1.

9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; x > 0g

с разрезом по отрезку [ 23 ; 1] на правую полуплоскость.

10.Найти образ верхней полуплоскости Im z > 0 при отображении ! = Arcsin z.

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по

отрезку [ 1; b]; (b > 1) и по дуге окружности с кон11. Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость

цами в точках e i ( =2 < < ), проходящей через точку z = 1, на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12. Расширенную комплексную плоскость с выкинутым полукругом fjzj 1; Im z 0g и разрезом по отрез-

ку [ i; 0] конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.

Найти интегралы

13.jzjz dz, где C проходимая против часовой стрелки

дуга окружности jzj = 4; Re z 0.

14.

(cos z + z7) dz, где C отрезок прямой, от точки 1 до

точки

окружность а)

, ãäå

;

z + 4i

= 4

15.

5ij = 1

(z2

+5)(z2

+49) dz

á)

16.

jz 2Rij=1

z2+5

dz.

(z 2i)2(z2+4)

внешность единичного круга с разрезами по отрезкам

[i; bi], [ bi; i], [1; a], [ a; 1] (a > 1; b > 1).

12. Расширенную комплексную плоскость с выкинутым полукругом fjzj 1; Re z 0g и разрезом по лу-

чу [0; +1] конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.

Найти интегралы

13.

C jzj Re z2 dz, где C дуга окружности jzj = 2; Im z

0, начальная точка z = 2.

14.

C (ez

+ e2z) dz, где C отрезок прямой от точки i до

1 + i.

точки

, ãäå

окружность а)

;

15.

jz 1 ij = 2

(z2+1)(z2 1)

á) jz + ij = 1.

16.

jz+3Rij=2

z2+1

dz.

(z+3i)2(z2+4)

Вариант 9

Представить

алгебраической

форме

+i(1+ip

3+i)

(1 i)

3)13

(

(1+i)

Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1 +

3 3) + i(3

Представить в алгебраической форме p8

8i2

Представить в алгебраической и показательной фор-

ìå

z = (1

Найти

дифференцируемую функцию

f(z), åñëè

arg f(z) = x y.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства (x2 + y2) ex = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.Решить уравнение sin z cos z = i

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z < 0g на область fj!j > 1g так, чтобы !( 2i) = 2i; arg !0( 2i) = =2.

Найти образы а) прямой y = 2; б) мнимой оси; в) окружности jz + ij = 1.

9. Конформно отобразить область f2x2 2y2 < 1; y > 0; z 2= [0; 2i]g на внешность единичного круга.

10.Найти образ первого квадранта при отображении ! = Arcsin z.

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезкам [ 1; 1] и [ i; 0] на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Верхнюю полуплоскость с выкинутой четвертью круга fjzj 1; =4 arg z 3 =4g конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.

Найти интегралы

13.

z Im z10 dz, где C отрезок прямой, соединяющий

0 è

1 i

точки

14.

C (ez + z3) dz, где C парабола y = x2, от точки 1 + i

1 + i.

до точки

15.

ez(z+1)

окружность а) jz 3(1 + i)j =

; á)

(z2+9)(z2

4) dz, ãäå C

jzj = 2 .

16.

jz 4Rij=1

z2+5

dz.

(z 4i)2(z2+1)

Вариант 10

								(1+i)9+2(p
1.	Представить в алгебраической форме							(1+i)9+2(p				3+i)3
								(1+i)7+(ip					1)3	.
								(1+i)7+(ip			3		1)3	.
2.	Найти угол между вектоpами z1 = 1 3i è z2 =
		p		p		3)	.
	( 1 3 3) + i( 3					3)		p4
3.	Представить в алгебраической форме									.
3.	Представить в алгебраической форме								16 i3	.
4.	Представить в алгебраической и показательной фор-
	ìå	z = (1 i	p		7i+2.
	ìå		p		7i+2.
			3)
5.	Найти дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = e y cos x; f(0) = 1.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x + ln(x2 + y2) = c сохраняет сво¼ значение arg f(z)

7.Решить уравнение sin z cos z = 3.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! > 0g

так, чтобы !(1 + i) = i; arg !0(1 + i) = =2.

Найти образы а) луча x = 1; y 0; б) окружности jz ij = 1.

9. Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; y > 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.

10.Найти образ области f0 < Re z < 2 ; Im z > 0g при отображении ! = sin z.

11.Конформно отобразить внешность единичного круга с разрезами по отрезкам [ 2; 1], [ 2i; i] и [i; 2i] на

верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.

Конформно отобразить область

fjzj < 1;

jz 2j >

1; Im z > 0g на единичный круг j!j < 1.

Найти интегралы

13.

jzj dz, ãäå C : jzj = p

;

34 arg ' 54 .

14.

(ez + sin z) dz, где C отрезок прямой от точки 1 + i

2 + 4i.

до точки

15.

jzjR=a

)dz.

(äëÿ

всех действительных a >

(z2+1)(z 3)

0; a 6= 1; a 6= 3

16.

jz+2Rij=1

z2+7

dz.

(z+2i)2(z+7)

Вариант 11

Представить

алгебраической

форме

(1+ip

3)51

(1+i)12+64(sin

+i cos

Найти угол между вектоpами

z1 = (

5+1)+i(3

5+2)

z2 = (4 5 + 3) + i(2 5 + 1)

Представить в алгебраической форме

256 i4

Представиòь в алгебраической и показательной фор-

ìå

z = (

Найти

дифференцируемую

функцию

f(z),

åñëè

Im f(z) = 2xy; f(0) = 1.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства r = c cos ' сохраняет сво¼ значение arg f(z).

7.Найти sin + sin( + ) + + sin( + n ).

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую круг fjzj < 1g на полуплоскость fIm ! > 0g так, чтобы

!(1=2) = i; arg !0(1=2) = =2.

Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 3=4j = 1=4.

9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; y < 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.

10.Найти образ области f0 < arg z < =ng при отобра-

жении ! = 2zn

1+z2n .

11.Конформно отобразить круг jzj < 2 с разрезами по отрезкам [ 1; 2] и [ i; i] на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 1 + 2ij > 2; jz + 1 + 2ij > 2g на внешность круга j!j > 1.

Найти интегралы

13.z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = 2

è z3 = 1 через точку z2 = i.

Вариант 12

Представить

алгебраической

форме

( p

3+i)33

( 1 i)11+32(sin

i cos

)

Найти угол между вектоpами

z1 = ( 7 3)+i(2 7 1)

z2 = (

7 +

3 3 2

21) + i(2

7 +

21 1 3

Представить в алгебраической форме

256 i8

4.Представить в алгебраической и показательной форме z = (i 1)3+2i.

5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если arg f(z) = ' + r sin '.

6. Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ' ln r = c сохраняет

сво¼ значение Re f(z).

7.Найти все z, для которых j tg zj = 1.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 2g на полуплоскость fRe ! > 1g так, чтобы !(1) = 1; arg !0(1) = 0.

Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 5=2j = 3=2.

9.Конформно отобразить область f4x2 + y2 > 4g на область f0 < Im ! < 1g.

10.Найти образ полуплоскости Re z < 0 с разрезом по лучу ( 1; 1] при отображении ! = Arcsin z.

11.Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезами по лучам ( 1; 1], [1; +1) и по правой половине единичной окружности.

12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz 3j > 9; jz 8j < 16g на кольцо 1 < j!j < R.

Найти интегралы

13.z dz, ãäå C : jz 1j = 2; 0 arg(z 1) .

14.

(z2+1) dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 =

14.

cos

z dz, ãäå C : jz 1j = 2; 0 arg(z 1) .

2 è z3 = 1 через точку z2 = i.

sin 2z

, где окружность а)

15.

jzj = 2 ; á) jz

(z2

15.

z(z+2) dz (для всех действительных a > 0; a = 2).

+4)(z 1) dz

z 1

jzj=a

1 + 2i = 3.

16.

e2z

jz+3j=3 (z+3)e2(z 4) dz.

jzjR=2 (z+1)2 dz.

											Вариант 13
1.	Представить							99			â	алгебраической										форме
							(i 1)	99
		p		7		p				2			19		14	.
		p		7		p				2			19		14	.
	( 3+i)				+8 2( cos				21		+i sin	21		)
	Найти угол между вектоpами z1 = (p																		p		3)+i(2p
2.	Найти угол между вектоpами z1 = (p																	7	p		3)+i(2p			3+
	p		è						p								p		p			p			.
	7)			z2		= (3+2			3+			7			21)+i( 3 21								7 6)
																			p4			.
3.	Представить в алгебраической форме																		p4	256 i4		.

4.Представить в алгебраической и показательной фор-

2i+4

ìå z =		1+i		.
		p
			3 i

5. Найти	дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = e2x+1 cos y; f(0) = 2.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ch x cos y = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7. Доказать, что tg 2z =	2 tg z
	1 tg2 z .

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fRe z > 0g на область fj!j > 2g так, чтобы !(1) = 4; arg !0(1) = 0.

Найти образы а) луча x = 1; y 0; б) окружности jz 1=2j = 1=2.

9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 < 2; y < 0g íà êðóã jzj < 1.

10.Найти образ области f0 < Im z < g при отображении

! = ch z.

11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезку [ 1; 1],по дуге окружности с концами в точ-

êàõ e i (0 < < =2), проходящей через точку z = 1, и по дуге окружности с концами в точках e i (0 < < =2), проходящей через точку z = 1, на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz 5j > 4; Re z > 0g на кольцо 1 < j!j < R.

	Найти интегралы
13.	R	1 è z3				= 1 через точку z2			= 2i.
13.		Re z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1									=
	C

14.	C e2z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = 1
	R	z3 = 1						z2 = 2i
	è					через точку				.
	R		sin 2z								3
15.	R				dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 .
15.	C		z(z 1)		dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 .
	C
	jzjR=1			ez		1
16.	jzjR=1			(z2+4)z2			dz.

Вариант 14

Представить

алгебраической

форме

3+i)7

( p

i)5+i( sin

+i cos

)33

Найти угол между вектоpами

10 + 1) + i(1

10) è z2 = 2p

+ 2i.

z1 = (

Представить в алгебраической форме

Представить в алгебраической и показательной фор-

ìå z =

3p3+i

4i+3

Найти

дифференцируемую

функцию

f(z), åñëè

Re f(z) = 1 sin y ex; f(0) = 1 + i.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ln2 r '2 = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.Найти все значения z, для которых все значения функции Arccos z действительны.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! < 0g

так, чтобы !(2i) = 2i; arg !0(2i) = =2.

Найти образы а) луча x = 0; y 0; б) окружности jz ij = 1.

9.Конформно отобразить область fx92 y162 < 1g с разрезом по отрезку [ 3; 0] на верхнюю полуплоскость.

10.Найти образ области f0 < Im z < ; Re z < 0g при отображении ! = ch z.

11.Конформно отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0; i],по дуге окружности jzj =

1;	0 arg z =4 и по дуге окружности jzj =
1;	3 =4 arg z на верхнюю полуплоскость

fIm ! > 0g.

12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz ij > 2; jz + ij < 5g на кольцо < j!j < 1.

	Найти интегралы
	R
13.	C jzj dz, где C : jz 1j = 1; Im z < 0, начальная точка
	z = 0.
14.	C sin2 z dz, C : jz 1j = 1; Im z < 0, начальная точка
	R
	z = 2.
	R		sin z2
15.					dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz
	C	(z2+1)(z 2)

	2j = 2.
16.	jzjR=3		e2z
				dz.
			(z2+4)z2

Вариант 15

Представить

алгебраической

форме

( 1 i)15

(ip

1)10 ( sin

i cos

)30

Найти угол между вектоpами z1 = ( p

+ 3) + i( 2

= ( 6 3+2

3+3 2)+i( 3 2+3

3+2+

Представить в алгебраической форме

16 i3

Представить в алгебраической и показательной фор-

ìå z = 2+8i

3+2i

5i 3

Найти

дифференцируемую функцию

f(z),

åñëè

Im f(z) = x2 y2 + 2x + 1; f(0) = i.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства r2 cos 2' = c сохраняет сво¼ значение Im f(z).

7.Решить уравнение ch z sh z = 1.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 2g на полуплоскость fIm ! < 0g так, чтобы !(4) = i; arg !0(4) = =2.

Найти образы а) луча y = 0; x > 2; б) окружности jz 5=2j = 3=2.

9.Конформно отобразить область fx2 y2 < 1g с разрезом по отрезку [0; 1] на область j!j < 1.

Вариант 16

Представить

алгебраической

форме

( 1+ip

3)17

(1 i)23+p

( sin 8 i cos 8 )62

Найти угол между вектоpами z1 = (5p

3+7)+i(2 p

z2 = (17 + 6

3) + i( 3

3 10)

Представить в алгебраической форме p3

27 i3

4.Представить в алгебраической и показательной фор-

7i 1

ìå z =	2+3i	.
	1 5i
5. Найти	дифференцируемую функцию f(z), если

Re f(z) = r' cos ' + r ln r sin '.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.Найти все значения z, для которых j th zj = 1.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz + 1j < 1g на область fj!j < 1g так, чтобы

!( 1=2) = i=2; arg !0( 1=2) = 0.

Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 1=4j = 3=4.

9.Конформно отобразить область fx2+4y2 > 4g с разрезом по отрезку [ 3; 2] на область fIm ! > 0; Re ! >

0g.

10.Найти образ комплексной плоскости с разрезами по

мнимой оси вдоль лучей ( 1i; i] и [i; +1i) при отоб10. Найти образ области f0 < Re z < ; Im z < 0g при

ражении ! = Arsh z.

отображении ! = tg z.

11.Конформно отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0; i] и по дуге окружности jzj = 1; =4 arg z 3 =4 на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjzj > 2; jz 5j > 2g на кольцо 1 < j!j < R.

Найти интегралы

13.	R3					2
13.	z; dz, где C ломаная, соединяющая точки z1						= i è
	C
	z	= 2 + i через точку z = 1.
14.	cos2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 =
	Ri è z3 = 2 + i через точку z2 = 1.
	C
	R	ez
15.	R			dz, где C окружность а) jzj = 1; б) jz 2ij =
15.	C	z(z2+4)		dz, где C окружность а) jzj = 1; б) jz 2ij =
	3.
16.	jzjR=2		cos 2z
					dz.
			(z 1)3		dz.

11. Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость


внутренность					x2
внутренность			правой ветки гиперболы	fcos2
	y2		правой ветки гиперболы	fcos2
		> 1; x > 0g.
	sin2	> 1; x > 0g.

12.Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего верхнюю полуплоскость на себя.

Найти интегралы

13.	R Re z dz, где C дуга окружности jz 1j = 1;								0
	C
	arg(z 1) .
14.	C ch2 z dz, где C дуга окружности jz 1j = 1;								0
	arg(z			1)		.
	R
	jz)jR=. a
15.			ez		dz (для всех действительных a > 0;				a 6=
15.		(z2+1)z			dz (для всех действительных a > 0;				a 6=
	1
16.	jzjR= 23			sin 2z				dz.
16.	jzjR= 23		(z2	+3)(z			1 )2	dz.
							2

Вариант 17

Представить

алгебраической

форме

( 1 i)13

i)17 217i( cos

+i sin

)35

Найти угол между вектоpами z1 = (2p

+ 3) i(2

11) + i(p

+ 5).

11) è z2 = ( 1 3

Представить в алгебраической форме p9

512 i7

Представить в алгебраической и показательной фор-

ìå z =

6 4i

7+i

1 5i

Найти

дифференцируемую функцию

f(z), åñëè

Re f(z) = cos y ex; f(0) = 1.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства (x + 1)2 + y2 = cy сохраняет сво¼ значение arg f(z).

7.Найти все значения z, для которых функция tg z принимает действительные значения.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 1g на область fj!j < 2g так, чтобы

!(2) = i; arg !0(2) = .

Найти образы а) луча fx 1; y = 0g; б) окружности jz 3=2j = 1=2.

9.Конформно отобразить область fx2 + 4y2 > 4; y > 0g с разрезом по отрезку [i; 2i] на область Im ! > 0.

10.Найти образ области f0 < Re z < g при отображении

! = tg z.

11.Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветки гиперболы xa22 yb22 = 1.

12. Конформно отобразить область fjzj > 1; jz 2j > 1; Im z > 0g на единичный круг j!j < 1.

Найти интегралы

13.jz 1j; dz, ãäå C : jzj = 1; 0 arg z .

14.	R	sin2 z dz, ãäå C : jzj = 1; 0 arg z .
	R
	C
	R		ez2				3
15.	R				dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 .
15.	C		z(z 1)		dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 .
	C
16.	jzjR=2				sin z
						dz.
				(z 1)2(z2+9)		dz.

									Вариант 18
1.	Представить								â			алгебраической									форме
								(1 i)5								.
		( p			i)21+(1+i)( sin						+i sin			9	)68
				3										9
				3						16				16
	Найти угол между вектоpами z1 = (7p																		5) i(4 p
2.	Найти угол между вектоpами z1 = (7p																	3	5) i(4 p				3)
							p
	è						p						3 8)				.
			z2 = (4 3 17) + i(11										3 8)					p5
																						.
3.	Представить в алгебраической форме																			32 i5		.
4.	Представить в алгебраической и показательной фор-
	ìå z =						34 5ii	3 i.													f(z), åñëè
5.	Найти					дифференцируемую функцию															f(z), åñëè

Im f(z) = x + x2 + y2; f(1) = 1 + 2i.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства er2 cos ' = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.

7.Доказать, что ch(z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz 1j < 1g на область fj!j < 2g так, чтобы

!(1=2) = i; arg !0(1=2) = .

Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz + 1=4j = 3=4.

9. Конформно отобразить область f2x2 2y2 > 1; y > 0; x < 0g на область j!j < 1.

10.Найти образ области f0 < Re z < =4g при отображении ! = tg z.

11.Конформно отобразить полосу f 2 < Im z < 2g с разрезами по лучам fIm z = 1; Re z < 0g на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 5=4j < 3=4; Im z < 0g на внешность единичного круга j!j > 1.

	Найти интегралы
13.	R		2 è z3			= 1 через точку z2 = i.
13.			Im z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1						=
	C

14.	R		sin2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 =
	R		2 è z3 = 1 через точку z2 = i.
	C

	R				z+1
15.	R						dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz
15.	C	j		(z2+4)(z 1)			dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz
	1	j	= 1.
	1		= 1.
16.	jzjR= 23					z+1
	jzjR= 23				(z2	+3)(z		1)2 dz.
					(z2	+3)(z		1)2 dz.

							Вариант 19
1.	Представить						â			алгебраической						форме
				( 1+i)21									.
		(p		i)13+i( sin		5		i cos			7	)20
			3			5					7
			3			12					12
	Найти угол между вектоpами z1 = (5 2p															13)+i(p
2.	Найти угол между вектоpами z1 = (5 2p															13)+i(p		13
	7) è z2 = (12 3p								13) + i( 2 p
	7) è z2 = (12 3p								13) + i( 2 p					13).
3.	Представить в алгебраической форме p4																.
3.	Представить в алгебраической форме p4														256 i3		.
4.	Представить в алгебраической и показательной фор-
				p			5i 3
				p	3+i		5i 3			.
	ìå z = 1 i									.						f(z), åñëè
5.	Найти дифференцируемую функцию															f(z), åñëè
	arg f(z) = ' ln r; f(1) = 2.

6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 y2 + 2x = c сохраняет сво¼ значение Re f(z).

7.Найти все z, для которых функция tg z принимает чисто мнимые значения.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz ij < 1g на область fj!j < 2g так, чтобы

!(i=2) = 1; arg !0(i=2) = 0.

Найти образы а) вертикального диаметра; б) окружности jz 5=4ij = 3=4.

9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; x < 0g с разрезом по отрезку [ 5; 3] на нижнюю полуплоскость.

10.Найти образ области f =4 < Re z < =4g при отображении ! = tg z.

11. Конформно отобразить область f 2 < Im z < 2; Re z > 0g с разрезами по лучу fIm z = 0; Re z > 1g и отрезкам fIm z = 1; 0 < Re z < 1g на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.

12.Отобразить круг jzj < 1 на себя так, чтобы заданные точки z1; z2 внутри круга перешли в точки a (0 < a < 1). Найти a.

Найти интегралы

R3				2
13.	z; dz, где C ломаная, соединяющая точки z1						= 0 è
C
z		= 2 через точку z = 1 + i.
14.	sin2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 =
R			3 = 2		z2 = 1 + i
C
0 è z				через точку		.

Re2z

15.(z+2)(z 1) dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz +

2j = 2.

16.	jzjR=2	sin z
			dz.
		(z+1)2(z+4)

Вариант 20

Представить

алгебраической

форме

( p

i)17

(1 i)

+(1+i)(sin 5 i sin

)

Найти угол между вектоpами

z1 = (1 5 3) + i(3 3 + 1)

z2 = (14 4

3) i(8 + 6 3)

Представить в алгебраической форме p243 i5.

форме z

Представить

в алгебраической

и показательной

3+5i

1+4i

Найти

дифференцируемую функцию f(z), если

arg f(z)

r2 cos 2'; f(1) = 2.

Найти все дифференцируеìûå ôóнкции, у которых вдоль лю-

бой линии семейства x + px2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение

jf(z)j.

7.Решить уравнение sin z = i sh z.

8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплос-

кость fIm z > 0g на полуплоскость fIm !+Re ! > 0g так, чтобы

!(2i) = 1 + i; arg !0(2i) = 0.

Найти образы а) луча x = 0; y 0; б) окружности jz ij = 1.

9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; x < 0g с разрезом по лучу ( 1; 5] на единичный круг.

10. Найти образ области f0 < Im z < g при отображении ! = cth z.

11.Конформно отобразить плоскость с разрезами, показанными на рисунке, на верхнюю полуплоскость.

12.Отобразить круг jzj < 1 на себя так, чтобы отрезок действительной оси: y = 0; 0 x a (a < 1) перешел в отрезок

действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка.

Найти интегралы

R	z dz, где C : jzj = 1; Im z > 0, начальная точка z = 1.
13.	z dz, где C : jzj = 1; Im z > 0, начальная точка z = 1.
C
14.	z	2
14.	z		z+1 dz, где C : jzj = 1; Im z > 0, начальная точка z = 1.
R
C
R				ez2
15.					dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz + 1 ij = 2.
15.	(z			2)(z+1)	dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz + 1 ij = 2.
C

Rz4+1

16.z3(z2+1) dz,

jzj= 12

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019131.07 Кб4ТУ 2008 Л3,4.doc
#
25.11.2019174.08 Кб4ТУ Л5.doc
#
25.11.2019216.06 Кб1ТУ Л7.doc
#
25.11.2019171.52 Кб2ТУ Л8.doc
#
19.09.201972.7 Кб5ТУРСЛЕТ.doc
#
27.03.2015343.97 Кб28ТФКП-4sem.pdf
#
11.03.201621.76 Кб70ТФСД.docx
#
03.09.2019415.23 Кб8ТЭА лекции.doc
#
27.03.2015544.26 Кб14ТЭО.doc
#
22.09.20191.64 Mб53ТЭС.doc
#
03.05.2015454.9 Кб61У теста только 1 правильный ответ.docx