2.1.1. Передача тепла теплопроводностью. Закон Фурье.

Для распространения теплоты в любом теле или пространстве необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю.

Связь между количеством теплоты , проходящим через элемен­тарную площадку , расположенную на изотермической поверх­ности, за промежуток времени , и градиентом температуры уста­навливается гипотезой Фурье, согласно которой

. (2.1.1.1)

Минус в правой части показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и grad t является величиной отрицатель­ной. Множитель пропорциональности называют теплопроводностью. Уравнение (2.1.1.1) носит название основного уравнения теплопровод­ности или закона Фурье. Справедливость гипотезы Фурье подтверж­дается опытами.

Отношение количества теплоты, проходящего через заданную по­верхность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обозначают Ф и выражают в ваттах (Вт). Отношение теплового по­тока к площади поверхности называют поверхностной плотностью теплового потока (или вектором плотности теплового потока), обозначают и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м²):

, (2.1.1.2)

где – элементарная площадь;

– длина нормали к изотермиче­ской поверхности.

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изо­термической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы и лежат на одной прямой, но направлены в противополож­ные стороны.

Тепловой поток , прошедший сквозь изотермическую поверх­ность площадью , находят из выражения

. (2.1.1.3)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени ,

(2.1.1.4)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходя­щего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, не­обходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу ана­литической теории теплопроводности.

2.2. Теплопроводность плоской стенки

Для плоской стенки, или иначе для не­ограниченной пластины, когда , условие установивше­гося режима выражается уравнением:

. (2.2.1)

Решив это уравнение, получим и, следовательно,

. (2.2.2)

где и – постоянные интегрирования.

Отсюда вытекает, что в плоской стенке без внутренних источников тепла температура распределяется по закону прямой линии (рис. 2.2.1).

Определив значения постоянных (положив один раз , а другой раз ) и подставив их в уравнение (38.2), найдем значение темпе­ратуры, в любой точке:

(2.2.3)

Тепловой поток, проходящий через 1 м² стенки, можно выразить сле­дующим образом:

(2.2.4)

Закон Фурье можно написать в форме, аналогичной закону Ома в элек­тротехнике, введя понятие о тепловом (термическом) сопротивлении:

вт/м²,

где – тепловое (термическое) сопротивление стенки, м²∙град/вт.

Рис. 2.2.1 Рис. 2.2.2 Рис. 2.2.3

Для сложной стенки, состоящей из слоев, тепловое сопротивление будет равно сумме сопротивлений отдельных слоев:

(2.2.5)

И удельный тепловой поток может быть определен по формуле

(2.2.6)

Расределение температуры внутри стенки изображается ломаной прямой линией (рис. 2.2.2).

Если построить график изменения температуры как функцию термического сопротивления , то он будет представлять прямую линию (рис.2.31.3). При помощи такого графика очень удобно определить температуры на границах слоев стенки.