Лабораторная работа №3

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ

ПОРЯДКЕ АППРОКСИМАЦИИ

1. Цель работы

Продолжение ознакомления с методами экстраполяции.

2. Задачи работы

Овладение методами практической оценки погрешности результатов численных экспериментов и уточнения результатов расчетов при меньшей информированности о процессе исследования.

3. Вводная часть

Следует различать задачи по наличию и виду дополнительной (априорной) информации, которая может быть использована при построении математической модели погрешности.

Например, оценка по правилу Рунге основана на предположении, что известен порядок точности численного метода (или порядок аппроксимации). В методе Ромберга требуется, чтобы были известны показатели нескольких степенных функций.

Однако при анализе результатов решения сложных задач часто случается, что показатели неизвестны и их значения должны быть получены из анализа численных результатов.

4. Теоретические основы

4.1. Процесс Эйткена

При оценке погрешности частичных сумм значение kв (2.4) может быть неизвестно. В этом случае можно использовать следующую модификацию правил Рунге и Ричардсона. Вычислим три значенияz₁,z₂,z₃при трех номерах последовательности:n,nQ,nQ²и составим систему трех уравнений

(3.1)

Найдем разности

,

,

и разделив одну на другую, определим Q^k:

. (3.2)

Теперь можно найти z:

. (3.3)

Как и в рассмотренных ранее случаях, мы нашли экстраполированное (уточненное) значение z, а вместе с ним и оценку погрешностиz_iz.

Этот способ экстраполяции при неизвестном порядке точности принято называть алгоритмом Эйткена [4] или ²-алгоритмом, который в более общем случае применяется для экстраполяции векторных последовательностей, например, при решении систем уравнений [1]:

.

В последнем выражении z_i– векторы, а скобками обозначается скалярное произведение.

Ошибка экстраполяции.Оценим ошибку экстраполяции, возникающую при применении этого метода. Предположим, чтоz_iпредставляется в виде (2.18). Применим формулы (3.2) и (3.3), подставив в них разложение (2.18)

. (3.4)

Аналогично (2.20) получим оценку

.

Отсюда следует, что, в отличие от метода Ромберга, применение ²– алгоритма приводит к дополнительной погрешности экстраполяции, имеющей порядок, отличный отk₂. Это может мало сказаться на результатах первой и второй экстраполяции. Однако при третьей экстраполяции будет оцениваться не следующий член разложения, а погрешность первой экстраполяции(предполагается, чтоk₃>2k₃-k₁).

Таким образом, если погрешность экстраполяции при известных показателях k_iвыражается только в изменении коэффициентовc_i, то при неизвестныхk_iпогрешность приводит к появлению новых слагаемых в разложении члена последовательности. Это существенно уменьшает точность и ограничивает число возможных экстраполяций.

Следует также отметить, что метод Ромберга не требует монотонного убывания коэффициентов разложения c_i, так как погрешность (2.22) не зависит от соотношения коэффициентов. Погрешность (3.4)²– алгоритма зависит от отношенияc₂/c₁и если это отношение достаточно велико, результат экстраполяции трудно предсказуем.

Иллюстрация на численном эксперименте.На рис. 3.1а приведены результаты применения повторной экстраполяции с помощью²- алгоритма (3.3) приQ=2 к последовательности сумм (2.2).

Цифрой 1, как и выше, обозначена зависимость погрешностей результатов, экстраполированных один раз, цифрой2– два раза и т. д. Из сравнения рисунков 2.2а и 3.1а видно, что применение²– алгоритма для получения той же точности, что и метод Ромберга, требует использования в 10-100 раз больше слагаемых. Это – следствие незнания показателейk_jи накопления погрешности при экстраполяции.

а)

б)

Рис. 3.1. Результаты экстраполяции с помощью ²-алгоритма:

а) – последовательности сумм (2.2); б) – упрощенной последовательности (3.5).

На рис. 3.1б показаны результаты применения ²-алгоритма к последовательности

, (3.5)

т.е. к упрощенной последовательности (2.25). Рисунок показывает, что качество экстраполяции от такого упрощения не улучшается.