- •Лабораторная работа №1
- •4. Теоретические основы
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Методы решения задачи
- •5. Методы оценки погрешности интерполяции
- •5.1. Оценка погрешности метода
- •5.2. Оценка погрешностей исходных данных и округления
- •6. Критерий качества оценки погрешности
- •7. Численный эксперимент. Применим этот способ оценки к конкретной задаче интерполяции. Пусть
- •8. Порядок решения задачи на эвм
- •9. Требования к отчету по лабораторной работе
- •10. Вопросы для самопроверки
Лабораторная работа №1
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
1. Цель работы
Ознакомление с интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона, рекуррентным соотношением Эйткена, методами оценки погрешности интерполяции.
2. Задачи работы
Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач. Овладение вычислительными методами и практическими методами оценки погрешности вычислений. Приобретение умений и навыков при программировании и отладке вычислительных задач на компьютере.
3. Вводная часть
Интерполяция функций является одним из фундаментальных разделов вычислительной математики. До появления компьютеров для многих практических вычислений применялись таблицы элементарных функций (синусов, логарифмов и т. п.). Для получения достаточно точных результатов при значениях аргументов, расположенных между узловыми точками, для которых даны табличные значения функции, решалась задача интерполяции (в переводе - «между полюсами»). В наиболее простом случае соседние точки графика этой функции соединялись отрезком прямой (линейная интерполяция). Собственно, густота точек таблицы и выбиралась в расчете на интерполяцию. Например, выражение «четырехзначные таблицы» означает, что для любого значения аргумента, а не только для указанных в таблице в качестве узловых, путем интерполяции, (как правило, линейной) можно получить значение табулированной функции с точностью до четырех значащих цифр.
Основополагающее значение задачи интерполяции объясняется также тем, что многие методы решения задач численного дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений сводятся к дифференцированию и интегрированию интерполяционного многочлена.
После появления компьютеров значение задачи интерполяции функций, заданных таблично, не потеряло актуальности, поскольку в результате численного решения сложных задач получается ряд значений искомой функции при разных значениях входного параметра. Получение большого числа таких значений сопряжено с большими затратами машинного времени. Применение интерполяции в этом случае позволяет существенно уменьшить эти затраты. Однако, в отличие от задачи интерполяции известной функции, в этом случае информация об искомой функции ограничивается таблицей ее значений. Эта задача является некорректной, поскольку существует бесконечное множество функций, имеющих заданное конечное число известных значений.
С подобными же проблемами приходится сталкиваться и при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому можно сформулировать такой тезис: в вычислительной математике не существует корректных задач. Существуют только корректно поставленные задачи, т.е. искусственно придуманные условия, которые на практике, как правило, не выполняются в связи с недостатком информации о том, что является искомым.
В связи с этим задача интерполяции в реальных условиях есть важнейшая проблема вычислительной математики, решение которой позволяет найти ключ к решению многих других задач, необходимых для практики.