2.7Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.

Изучение понятия в школьном курсе мат-ки носит концентрический характер. Материал изучается в 5-9 и 11 классах, учитывая возрастные особенности учащихся. Впервые учащиеся знакомятся с понятием степени в 5 классе. При изучении темы «площать квадрата. Квадрат числа» (говорят, что произведение двух одинаковых множителей можно записать как ).

5кл- x²и x³

7кл-xⁿ (n€N)-дается определение степени числа, свойства вводятся конкретно индуктивным методом, учащиеся впервые знакомятся с алгебраическим методом док-ва, дается понятие одночлена стандартного вида. Основная цель-формирование понятия степени, формирование умений и навыков, выполнение действий со степенями, изучение степенных функций.

8кл-x^m(m€Z)-дается определение: если а не равно 0 и n целое отрицательное число, то aⁿ=1/a^-n, дается еще раз понятие стандартного вида числа,ф-и y=k/x и y=x^1/2.

9кл-x^q(q€Q)-дается определение корня n-ой степени, вводятся обозначения, дается определение арифметического корня из неотрицательного числа.

11кл-обобщение и систематизация понятия.Повторяется определение арифметического корня, корня n-ой степени, св-ва корней. Вводятся нове св-ва степени с рац.показателем, рассматривается ф-я y=x^α и ее производная.

2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.

Первое расширение понятия о числе, кот. учащиеся усваивают после ознакомления с нат-ми числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить – значит найти . 2 случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• необходимость новых чисел;

• введение новых чисел;

• сравнение (геометрическая интерпретация);

• действия над числами;

• законы.

В курсе математики 5–6 классов имеет место построение мн-ва рац чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N, 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Десятич дроби Отриц числа Обыкнов дроби Рац числа (целые и дробные, положит и отриц)

N, 0 Целые числа Десятич дроби (положит) Обыкнов дроби (положит) Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отриц чисел)

Методика введения понятия «иррациональное число»

Существует три подхода к введению понятия «иррациональное число».

I. При первом подходе можно выделить 3 основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.

1 . Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: «Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение . Решением этого ур-ния (с учетом того, что длина выражается положит числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: «Какому числовому мн-ву принадлежит это число?»

2. Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап на практике.

Введение понятия «иррац число» завершается расширением мн-ва рац чисел до мн-ва действит чисел, структуру к-го можно изобразить с помощью кругов Эйлера.

3. Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых мн-в, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.

II. При 2-м подходе к ведению понятия «иррац число» можно предложить ученикам след задания.

Примеры. 1) Найдите длину отрезка при выбранной единице измерения .

Э та задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.

2) Вычислите длины отрезка, если он составляет единичного отрезка. Ответ. .

3) Приведите геометрич док-во того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2. Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении длины диагонали (при условии, что единица измерения – длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

4) Приведите строгое док-во, что не существует рац числа, квадрат к-го равен двум.

5) Дайте определение иррационального числа.

6) Постройте множество действительных чисел.

III. При 3 подходе можно привести формулировку опред-ия и проиллюстрировать его примерами.