19. Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.

1. В начальной школе (на уровне интуиции)

2. в 6-7 кл – числовые неравенства и их свойства (строго)

3. в 7-9 кл – линейные неравенства с одной переменной и их системы

- квадратичные неравенства, их решение и графическая иллюстрация

- понятие равносильности неравенства

- рациональные неравенства и их решение методом интервалов

4. в 10 кл как необязательный материал проходят тригонометрич. нер-ва; метод интервалов (на основе непрерывности функции).

5. в 11кл рассматрив-ся показат.и логарифмич.нер-ва, и как необязательный материал иррац-ые нер-ва.

Опр. числового нер-ва: «Говорят, что число а больше числа b, если разность а-b число положит-ое, и записывают a>b, где значок > значит «больше»(аналогично для меньше). Выражение a>b наз. Нер-ом. (геометрически a>b объясняется: если число а на координат. прямой изображается точкой, расположенной правее точки, соотв. Числу b). Св-ва числовых нер-в(составляют ту базу, на основании которой строятся решения линейных нер-в, оценка значений выражений.):

Виды нер-в: лин-ые нер-ва с одной переменной, квадратные, дробно-рацион., лин. с двумя переменными.

Впервые знакомство с нер-ми учащиеся проводят с линейными, в связи с чем вводится понятие числовых промежутков. (Это основа решения задач с параметрами.)

Нер-во вида ax+b>0, где a,b – числа, x – переменная, называется линейным.

Нер-во вида ax²+bx+c>0, где a,b,c – числа, a<>0, x – переменная, наз. квадратным.

Далее изучают рациональные (дробно-рациональные неравенства).

Функция вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, наз. Рациональной ( f(x)=p(x)/q(x), где p(x) и q(x) многочлены – дробно-рац.) Дробно-рац ф-ция определена, если q(x) не обращается в нуль. Соотв-но, p(x)>0, p(x)/q(x)>0 – рац. и дробно-рац неравенства. Решаются методом интервалов, который основывается на данном этапе на идеи перемены знака бинома х-а при переходе через точку а.

В 10 кл метод интервалов основывается на св-ве непрерывной функ-и (если на интервале (a;b) ф-я f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак). Рассматривается соотв. Теорема: пусть на интервале I ф-я f непрерывна и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то интервал разбивается на интервалы, в каждом их которых ф-ция сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение ф-ции в к-л одной точке из каждого интервала.

Показат-ые нер-ва (a^x<b) и логарифмич. нер-ва (log_ax<b) обычно решаются путём приведения всех выражений, содержащих логарифмич. и показат. функции, к одному основанию и последующей заменой неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраич. нер-ва.

Иррациональные нер-ва – нер-ва, в которых пременная содержится под знаком корня (радикала). Важно запомнить √f(x) <g(x); f(x)>=0; g(x)>0; f(x)<g²(x).

19. Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.

Методические схема изучения функции.

1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.

2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).

3. Составить таблицу значений функции и построить "по точкам" её график.

4. Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику)

5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

1-6 кл. пропедевтика понятия Ф, где решаются упр. типа «изменение одной величины влечёт изменение той или другой» (зависимость от слагаемых, шкала, корд.луч, диаграммы).

7-9 кл. 1– Подготовительная работа (рассм. текстовые задачи прикладного характера, показывается целесообразность введения и изучения данной функции).

2– На основе математизации эмпирического материала формируется опр-ние и вводится соответствующая формула, проводятся иссл-ния входящих в эту формулу параметров.

3– Составляется таблица значений Ф., построение её графика по точкам.

4– Иссл-ние основных свойств Ф. (преимущественно по графику).

5– Рассмотрение задач и упражнений на применение основных свойств Ф.

В 7-9 кл. функции исследуются элементарными средствами, при этом использ. наглядно-геометрический метод. Аналитический метод носит ограниченный характер.

10-11 кл. 1– Подводящая задача. 2– Опр-ние функции. 3– Аналитическое исследование свойств функции. 4– График функции. 5– Задачи и упражнения на закрепление свойств функции.

Понятие Ф. в действующих шк. учебниках:

Теляковский, 7 кл.: Ф. – это зависимость у от х, где хХ, уУ, когда каждому зн-нию х соответствует единственное зн-ние у. Говорят, что у есть функция от х.

Определение: пусть задано некоторое числовое множество Х, и каждому из его числу ставится в соответствие число из множества У, тогда говорят, что задана функция y=f(x), где область определения является Х.