16. Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.

В старших классах (10 кл) уч-мся дается понятие о триг-ом ур-и, его корнях, изучаются простейшие ур-я и рассм приемы решения более сложных ур-й. При выводе формул для решения простейших триг уравнений вида возможны след методические подходы.

Использование графического метода решения уравнений.

Он явл одним из общих методов решения уравнений, суть к-го должна быть хорошо усвоена в курсе алгебры. Рассм методику ознакомления уч-хся с решением ур-я вида , используя этот подход.

1)Перед выводом ф-лы корней этого ур-я рекомендуется повторить: основные св-ва ф-ции ; опред арккосинуса; сущность графич метода решения ур-ний.

2)Полезно рассмотреть частные случаи уравнения на конкретных примерах.

1. Решить уравнение . Строим график ф-ции . Т. к. фун-ия — периодич с периодом , возьмем отрезок . Как видно из графика ф-ции, на этом промежутке ур-е имеет только одно реш . остальные реш получим, прибавляя к x₀ число вида

2. Решить ур-е ; . Аналогично, получаем след ф-лы

3. Решить уравнение . Построим в одной системе координат графики ф-ций и . Ф-ция - периодич с периодом , значит, достаточно найти корни ур-ния на промежутке . Т. к. на ф-ция монотонно убывает от 1 до -1, то на этом отрезке она (в силу непрерывн) приним знач ровно один раз. Абсцисса точки пересеч графиков будет = числу , т.е. . Косинус — четная ф-ция, поэтому на ур-ние также имеет только одно реш — . Итак на наше ур-е имеет два корня: . Прибавим к получен значениям период ф-ции , получим все решения уравнения: .

4. Рассмотрим вывод формулы решений уравнения при . Пусть . Строим графики ф-ций и , получится бескон мн-во точек пересечения. На косинус убывает, и поэтому ур-ние имеет ед реш, равное числу . Косинус — четная ф-ция, поэтому на ур-ние также имеет только одно реш — число . Итак, ур-ние на длины имеет 2 реш: . Ф-ция явл периодич с периодом , поэтому числа вида будут корнями ур-ния . При рассужд аналогично и приходим к тому же результату.

Важно обратить внимание уч-хся на тот факт, что если триг ур-ние имеет реш, то их бескон мн-во.

5. Затем рассм случаи отсутствия реш ур-я при , рассм графики ф-ций и .

Полученные сведения о решении ур-ния рекомендуется свести в таблицу.

Вид ур-ия	Значение a
	a = -1	a = 0	a = 1
cos x=a					Реш нет

Важно обратить внимание уч-ся на «особую» форму записи решения урав-ия при a = -1, 0, 1.

Нахождение решений тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности.

Рассм методику ознакомления уч-хся с решением уравнения , используя единичную окр-сть.

1. Перед выводом формулы корней этого уравнения рекомендуется повторить: опр единичной окр-сти; опр ; св-ва функции ; .

2. Рассмотр частные случаи решения уравнения при a = -1, 0, 1:

3. Р ассмотреть вывод формулы решений уравнения при .

Пусть . На оси Oy отметим точку А с ординатой a и проведем через нее прямую, паралл оси Ox. Точки пересеч этой прямой с един окр-тью обозначим P₁ и P₂. Корнями ур-я явл только те действит числа, к-ые на един окр-ти изображ либо точкой P₁, либо точкой P₂. Одно из чисел, изображ т. P₁, попадает на отрезок , к-ый включается в отрезок и поэтому равно . Другое из чисел, изображаемое точкой P₂, как легко понять из рис, равно . Т.к. синус — периодич ф-ция с периодом , то получим две серии решений:

Но . можно представить одной ф-лой: . Если k — чет, то получается решение , а при нечет k получаем решение .

4. З атем следует рассм случаи отсутствия решений ур-я при , используя един окр-ть

5. Полученные сведения о решении уравнения рекомендуется свести в таблицу.

Вид ур-ия	Значение a
	a = -1	a = 0	a = 1
					Реш нет

Аналитическое выведение формул решения тригонометрических уравнений.

(1). Пусть – какое-либо число, явл-ся корнем ур-я (1), тогда . По ф-лам приведения имеем: , следовательно, . Синус – ф-ция периодич, поэтому: . Объединение мн-в чисел вида охватывает все решения ур-я (1). Это число можно представить одной ф-лой: , где — какое-либо решение ур-ний (1). Для удобства x₀ выбирают из промежутка , где синус принимает все свои значения. Но тогда можно обозначить , и ф-ла решения ур-я (1) примет вид:.