![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2
.pdf3.2.4 Методы Адамса
Явная схема Адамса
Рассмотренные выше схемы являются явными одношаговыми (для нахождения последующего приближения используется лишь одно предыдущее). Приводимые ниже методы являются многошаговыми. Они могут быть как явными, так и неявными.
Пусть задана задача Коши |
(u0 = f(x; u); |
|
u(a) = u0: |
Для точного решения u(x) (которое нам неизвестно) выполнено
xZn+1
u(xn+1) = u(xn) + |
f(x; u(x))dx : |
(6) |
xn
Предположим, нам известны приближенные значения yi функции u(x) â k точках xn¡k+1, xn¡k+2, : : : ; xn (стартовые k точек, в частности, можно найти методом Эйлера или методами Рунге-Кутта того или иного
порядка), тогда функцию f(x; u(x)) в (6) для приближенного вычисления интеграла можно заменить на интерполяционный полином Pn;k(x) порядка k ¡ 1, построенный по k точкам fxi; f(xi; yi)gnn¡k+1, интеграл от которого считается явно и представляет собой линейную комбинацию значений fi = f(xi; yi) с некоторыми множителями ¸i. Таким образом, мы получаем следующую рекуррентную процедуру вычисления приближенных значений yi функции u(x) (являющейся точным решением задачи Коши) в точках xi
|
xn+1 |
k |
|
|
xn |
|
|
|
X |
|
|
yn+1 = yn + |
Z |
Pn;k(x)dx = yn + i=1 ¸if(xn+1¡i; yn+1¡i) : |
(7) |
Описанная схема называется k-шаговой явной формулой Адамса.
Неявная схема Адамса. Метод прогноз-коррекции
Пусть Pn+1;k+1(x) интерполяционный полином порядка k, построенный по k + 1 значению fn¡k+1, : : :, fn, fn+1, одно из которых, именно fn+1, мы будем считать неизвестным. Модифицируем (7), заменив в нем Pn;k на полином более высокой степени Pn+1;k+1, интеграл от которого выражается в виде линейной комбинации значений fi с некоторыми новыми коэффициентами ¯i :
|
xn+1 |
k |
|
|
xn |
|
|
|
X |
|
|
yn+1 = yn + |
Z |
Pn+1;k+1dx = yn + i=1 ¯ifn+1¡i + ¯0f(xn+1; yn+1) : |
(8) |
Формула (8) представляет собой неявную схему Адамса и является уравнением на yn+1, которое можно решать скажем методом последовательных приближений. Естественно, что начальное приближение yn0+1,
должно быть разумно выбрано. Для этого удобно объединить явную и неявную схемы Адамса в одну, называемую методом "прогноз-коррекции". Именно, с помощью явной схемы определяется начальное при- ближение yn0+1 (прогноз), а затем по неявной схеме оно необходимое число раз (обычно один или два)
корректируется методом последовательных приближений до достижения заданной точности (коррекция): |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
iP k |
|
|
|
|
|
|
|
|
прогноз: |
y0 |
|
= y |
|
+ |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
n |
|
|
|
i |
n+1¡i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym+1 = y |
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
|||
коррекция: |
|
n |
+ |
¯ |
f |
n+1¡i |
+ ¯ f(x |
n+1 |
; ym |
): |
|||||
|
|
n+1 |
|
|
=1 |
i |
|
0 |
n+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Пример. Пусть k равно 1 и h = xn+1 ¡ xn. В этом случае "прогноз" представляет собой интегрирование
по формуле левых прямоугольников, совпадающее в данном случае с методом Эйлера, а "коррекция" интегрирование по формуле трапеций:
прогноз: yn0+1 = yn + hfn;
коррекция: yn+1 = yn + h2 (fn + fn+1) :
Последнюю формулу необходимо понимать как уравнение для определения yn+1 (и, соответственно, урав- нение на fn+1 = f(xn+1; yn+1)), которое решается методом последовательных приближений.
3.3 |
Краевая задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.1 |
Метод стрельбы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 |
y00(x) = f(x; y; y ) ; x |
2 |
[a; b] ; |
|
|
|
(9) |
|
|
®1y(a) + ¯1y0(a)0= °1 ; |
|
|
|
|
|||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем от этой задачи к системе |
> |
|
|
u(x) = y(x) |
è |
v(x) = y0 |
(x) |
. Тогда |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||
|
|
<®2y(b) + ¯2y0(b) = °2 : |
|
|
|
|
|
|
уравнений первого порядка. Пусть
уравнение (9) переходит в
а краевые условия принимают вид
(u0 = v;
(10)
v0 = f(x; u; v);
(®1u(a) + ¯1v(a) = °1;
(100)
®2u(b) + ¯2v(b) = °2:
Таким образом, исходная краевая задача свелась к задаче 1-го порядка для системы двух уравнений. Метод стрельбы это переход к решению некоторой задачи Коши для системы (10). Выберем произ-
вольно u(a) = » . Теперь определим v(a) из первого из условий (100):
v(a) = ¯1¡1(°1 ¡ ®1») ´ ´(») :
Далее, рассмотрим систему (10) с начальными(условиями
u(a) = » v(a) = ´(») :
Такая задача является задачей Коши. Решим ее некоторым способом (например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка). Решение (u»; v») наверняка не будет удовлетворять второму краевому условию. Обозначим через
» возникающую невязку:
®2u(b)» + ¯2v(b)» ¡ °2 = Δ(») :
Задача состоит в отыскании такого »¤, при котором невязка обращается в ноль: Δ(»¤) = 0 , что соответствует удовлетворению второго краевого условия. Варьируем (стрельба) пристрелочный параметр » äî òåõ
пор, пока не образуется вилка
»i : Δ(»i)Δ(»i+1) < 0 ;
тогда можно утверждать, что »¤ 2 [»i; »i+1]. После того, как промежуток на котором находится корень функции Δ(») найден, делим отрезок [»i; »i+1] пополам и выбираем ту его часть, на концах которой имеет разные знаки, и так далее, до достижения требуемой точности.
32
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu33x1.jpg)
Замечание. при каждом выбранном »i необходимо решать задачу Коши дифференциального уравнения (10) с начальными данными
u(a) = »i ; v(a) = ´(»i) :
3.3.2 Метод сеток (разностный метод)
Рассмотрим разностный метод на примере следующего дифференциального уравнения второго порядка:
¡u00 + q(x)u = f(x) [a; b]; |
|
(u(a) = A ; u(b) = B : |
(11) |
Разобьем промежуток на N частей: a = x0 < x1 < : : : < xN = b . Пусть шаг сетки постоянный: xi¡xi¡1 = h . Аппроксимируем вторую производную u00(xi) разностной:
u00(x ) = |
u(xi+1) ¡ 2u(xi) + u(xi¡1) |
¡ |
u(4) |
(xi)h2 |
+ O(h4) ; |
|
i |
h2 |
|
|
12 |
|
выражение для которой легко получить из ряда Тейлора
u(xi § h) = u(xi) § u0 |
|
u00 |
(xi)h2 |
u000(xi)h3 |
|
u(4) |
(xi)h4 |
||
(xi)h + |
|
|
§ |
|
+ |
|
|
+ : : : ; |
|
|
2 |
6 |
|
24 |
Введем обозначения: u(xi) = ui, qi = q(xi), fi = f(xi). Заменим в (11) вторую производную разностной, тогда для приближенного решения yi в точках xi получаем трехдиагональную систему
¡yi¡1 + (2 + h2qi)yi ¡ yi+1 = fih2 ; i = 1; 2; : : : ; N ¡ 1 : |
(12) |
Для ее разрешимости достаточным условием (но вовсе не необходимым) является диагональное преобладание. В нашем случае это сводится к требованию j2 + h2qij > 2 ; которое выполняется если q(x) > 0 .
3.3.3 Сходимость сеточных методов
Пусть u(x) точное решение уравнения (11), а yi численное решение задачи (12). Справедлива Теорема. Пусть q(x), f(x) 2 C[2a;b] è q(x) > 0 ; 8 x 2 [a; b], тогда
ju(xi) ¡ yij = O(h2) :
Доказательство. Поскольку q(x); f(x) 2 C[2a;b] |
то из уравнения (11) следует, что u(x) 2 C4[a; b], и тогда |
||||||||||||||
используя ряд Тейлора можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u00(x ) = |
ui¡1 ¡ 2ui + ui+1 |
¡ |
|
1 |
h2u(4)(» ) ; » |
i 2 |
(x |
; x |
) : |
||||||
12 |
|||||||||||||||
i |
|
h2 |
|
|
i |
i¡1 |
i |
|
|||||||
Значения ui точного решения удовлетворяет уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¡ |
ui¡1 ¡ 2ui + ui+1 |
+ qu |
|
= f |
1 |
h2u(4)(» ) ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
h2 |
|
|
|
|
i |
i ¡ |
12 |
|
i |
|
|
ãäå »i некоторые точки на [a; b]. Для погрешности
vi = yi ¡ ui
возникает система уравнений
¡ |
vi¡1 ¡ 2vi + vi+1 |
+ q v |
|
= |
|
1 |
h2u(4) |
(» ) ; |
v |
|
= 0 ; v |
|
= 0 : |
(13) |
|
12 |
|
|
|||||||||||
h2 |
i |
i |
|
|
i |
|
0 |
|
N |
|
|
33
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu34x1.jpg)
Пусть xk точка, где модуль погрешности максимален, то есть
jvkj ¸ jvij ; i = 1; 2; : : : ; N ¡ 1 :
Этой точкой не может являться x0 è xN , поскольку v0 = vN = 0 . Сравним модули левой и правой части системы (13) при индексе равном k
jvk(2 + qkh2)j · jvk¡1j + jvk+1j + 121 h4ju(4)(»k)j ;
èëè |
1 |
|
|
jvkj(2 + qkh2) · 2jvkj + |
h4ju(4)(»k)j ; |
||
|
|||
12 |
откуда
òî åñòü
что и требовалось доказать.
j |
v |
|
|
|
1 |
h2 |
ju(4)(»k)j |
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
kj · 12 |
|
|
jqkj |
|
|
|||||||||
max |
v |
ij · |
h2 |
max |
ju(4)(»i)j |
; |
||||||||
|
12 |
|
||||||||||||
i |
j |
|
|
i |
|
jqij |
|
|
3.3.4 Метод Нумеpова
Точность сеточного метода (12) можно повысить до четвертого порядка несколько модифицировав его методом Нумерова, справедливым для более широкого класса уравнений. Именно, для уравнений вида
u00 = f(x; u) : |
(14) |
Подставим в (14) вместо второй производной разностную:
0 = u00(x) |
¡ |
f(x; u) = |
u(x + h) ¡ 2u(x) + u(x ¡ h) |
¡ |
f(x) |
¡ |
h2u(4)(x) |
+ O(h4) : |
(15) |
||
h2 |
|
12 |
|||||||||
|
|
|
|
|
Непосредственно из уравнения (14) следует, что u(4) = f00(x; u). Заменим в (15) четвертую производную от неизвестной функции в точке xi на вторую от f(x; u), которую в свою очередь заменим разностной
f(x; u)i00 = |
f(xi+1; ui+1) + f(xi¡1; ui¡1) ¡ 2f(xi; ui) |
+ O(h2) : |
|
h2 |
|
Тот факт, что точность такой формулы действительно имеет второй порядок, необходимо еще проверять. Здесь мы не будем останавливаться на этом (подробнее см. [2]). Имеем
ui00 ¡ f(xi; ui) = |
¡ |
2u |
¡ f(xi; ui) ¡ 12 |
· |
f(x |
|
|
h2 |
|
|
) |
¡ |
2f(x ; u ) |
+ O(h )¸ ; |
||||
= |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
u |
+ u |
|
h2 |
|
; u |
i+1 |
) + f(x |
; u |
i¡1 |
|
2 |
||||||
|
|
i+i |
i¡1 |
|
i |
|
|
|
i+1 |
|
i¡1 |
|
|
|
i i |
то есть численная схема приобретает вид
yi+i + yi¡1 ¡ 2yi = 1 [f(xi+1; yi+1) + f(xi¡1; yi¡1) + 10f(xi; yi)] : h2 12
В частности, для уравнения (11)
|
q |
i+1 |
h2 |
2 |
5 |
|
q |
i¡1 |
h2 |
|
|||
ui+1(1 ¡ |
|
|
|
|
) ¡ ui(2 + h |
qi |
|
) + ui¡1 |
(1 ¡ |
|
|
) = |
|
|
|
12 |
6 |
|
12 |
||||||||
|
= ¡ |
h2 |
(fi+1 + fi¡1 + 10fi) + O(h6) : |
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
|
|
Отбрасывая остаточный член и добавляя граничные условия в точках x0 è xN , получаем сеточный метод с погрешностью 0(h4) (напомним, что в обычном методе сеток было:
ui+1 ¡ ui(2 + h2qi) + ui¡1 = ¡fih2 + O(h4) .)
34
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu35x1.jpg)
3.4 Задача Штурма-Лиувилля
Задачу на собственные значения рассмотрим на примере следующего дифференциального уравнения 2-го
порядка: |
¡u00 + q(x)u = ¸u; |
|
|
|
|
|
(u(a) = 0 ; u(b) = 0: |
(16) |
Вопрос. Почему граничные условия однородные (нулевые)?
В задаче появилась новая степень свободы ¸. Важные свойства задачи (16) таковы, что решение диф-
ференциального уравнения существует и удовлетворяет граничным условиям лишь пpи некоторых значе- ниях ¸ , называемых собственными значениями. Соответствующие этим ¸ решения u¸(x) называются собственными функциями. Спектр собственных значений может быть дискретным (в рассматриваемом случае спектр дискретен, если и a è b конечны), непрерывным, также ¸ может одновременно принадлежать дис-
кретному и непрерывному спектру. В задаче (16) требуется определить как возможные значения ¸, òàê è
собственные функции u¸(x).
Существует 2 основных метода решения задачи (16).
3.4.1 Метод стрельбы
В силу однородности задачи (16), если u(x) является решением, то u1(x) = const u(x) тоже решение,
поэтому можно задать произвольно значение u0(x) в точке a (обычно выбирают u0(a) = 1), а затем пеpейти |
|
к стрельбе, то есть рассмотреть задачу Коши: |
|
8 ¡u00 + q(x)u = ¸u |
|
> |
|
> |
|
< |
|
> u(a) = 0 |
|
> |
|
> |
|
и находить ее решение u(x; ¸) и подобрать:¸ так, чтобы |
|
> u0(a) = 1 |
|
u(b; ¸) = 0 : |
(17) |
При этом мы одновременно находим и собственное значение ¸ и соответствующую собственную функцию
u(x; ¸). Решается уравнение (17) любым из методов нахождения корня алгебраического уравнения. Напри-
мер, варьируя пристрелочный параметр, можно добиться вилки u(b; ¸i)u(b; ¸i+1) < 0 и затем использовать
метод деления пополам.
Метод стрельбы удобно применять в ситуации, когда априори из физической постановки задачи известны естественные пристрелочные параметры.
3.4.2 Метод сеток
Разобьем промежуток на N частей введя сетку a = x0 < x1 < : : : < xN = b , и также, как в случае краевых задач, заменим в (16) производные разностными. При этом задача принимает вид
> |
¡ (2 + h2qi)yi + yi+1 |
= ¸h2yi ; |
8 yi¡1 |
||
> |
|
|
> |
|
|
< |
|
|
> y0 = 0 ;
>
>
: yN = 0 :
35
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu36x1.jpg)
Таким образом, исходная задача свелась к задаче на собственные значения для трехдиагональной матрицы A размера (N ¡ 1) £ (N ¡ 1) :
|
Ay = ¸y ; |
|
A : |
aii = 2 + h2qi |
i = 1; 2; : : : ; N ¡ 1 : |
|
ai¡1 i = ai i+1 = ¡1
Собственные числа матрицы A являются приближениями к первым собственным значениям исходной задачи.
3.5 Разностный оператор второй производной
3.5.1 Оператор второй производной
Произведем сначала спектральный анализ собственно оператора второй производной на отрезке |
[a; b] ñ |
||
нулевыми граничными условиями, т.е. определим его собственные функции и собственные числа. |
(18) |
||
(Φ(a) = Φ(b) = 0: |
|||
¡ |
d2 |
Φ = ¸Φ; |
|
dx2 |
|
p p p
Очевидно, что функции Φ¸(x) = e§i ¸x, или их комбинации sin ¸x, cos ¸x удовлетворяют уравнению.
p
Пусть a = 0 для упрощения записи. Поскольку Φ(0) = 0, то нас устраивает только функции вида sin ¸x .
p
Из второго граничного условия Φ(b) = 0 следует, что ¸b = ¼n , таким образом, спектр задачи дискретный
и бесконечный. Собственные функции Φn и собственные числа ¸n |
|
имеют вид |
|||||
Φn(x) = sin |
¼n |
x ; ¸n = |
n2¼2 |
|
: |
(19) |
|
b |
b2 |
||||||
|
|
|
|
3.5.2 Разностный оператор
Рассмотрим теперь соответствующую разностную задачу. Разобьем промежуток на (N + 1) часть c равномерным шагом h : a = x0 < x1 < : : : < xN+1 = b . Задача на спектр разностного оператора принимает
âèä |
|
|
|
|
Fi¡1 |
¡2Fi+Fi+1 |
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
= ¸Fi ; i = 1; 2; : : : ; N; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(F0 = FN+1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
|||||
или, обозначив ˜ |
2 |
= ¹, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸h |
|
(F0 |
= FN+1 |
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
¡Fi¡1 |
+ 2Fi ¡ Fi+1 = ¹Fi |
; i = 1; : : : ; N; |
|
|
|
|
||||||||||
Эта задача представляет собой задачу на спектр трехдиагональной матрицы |
N-го порядка |
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
¡1 |
0 |
|
: : : 0 |
10 |
F1 |
1 |
|
0 |
F1 |
1 |
|
|||
AF = ¹F : |
B |
¡1 2 |
¡1 |
|
0 |
|
: : : |
CB |
F2 |
C |
= ¹ |
B |
F2 |
C |
; |
||||
B |
0 |
1 |
2 |
|
¡ |
1 : : : |
CB |
: : : |
C |
B |
: : : |
C |
|||||||
|
|
|
B |
|
|
¡ |
|
|
|
|
CB |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
B |
: : : |
: : : |
: : : |
|
: : : |
: : : |
CB |
: : : |
C |
|
B |
: : : |
C |
|
||
|
|
|
B |
|
CB |
C |
|
B |
C |
|
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
: : : |
: : : |
: : : |
|
: : : |
: : : |
CB |
FN |
C |
|
B |
FN |
C |
|
||
|
|
|
B |
|
CB |
C |
|
B |
C |
|
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
F0 = FN+1 = 0 ;
36
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu37x1.jpg)
ñ N-компонентными собственными векторами F = (F1; F2 : : : ; FN )T .
Для решения этой задачи вспомним сначала (см. Главу "Численное дифференцирование), что eh dxd F (x) = F (x + h) , òî åñòü e§h dxd Fi = Fi§1. Таким образом, систему можно переписать в виде
(
[e¡h dxd + 2 ¡ eh dxd ]Fi = ¹Fi; F0 = FN+1 = 0:
Применяя операторы сдвига ко всем компонентам вектора F, получаем следующую переформулировку
(
[e¡h dxd + 2 ¡ eh dxd ]F = ¹F;
F0 = FN+1 = 0:
Некоторое неудобство такой формы записи состоит в том, что |
|
d |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
не является самосопряженным операто- |
||||||||||
ром, но таковым является оператор 1 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
dx |
(правда рассматриваемый на всей оси): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 d |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
¿ |
|
|
|
f; gÀ |
= |
|
Z f0(x)¯g(x)dx = Z |
f(x) µ |
|
|
|
|
g(x)¶dx = ¿f; |
|
|
|
gÀ : |
|
|
|||||||||||||||||
i |
dx |
i |
i |
dx |
i |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Собственные функции оператора D |
это экспоненты |
eipx : 1 |
d |
|
eipx = peipx , спектр сплошной и заполняет |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
всю вещественную ось: p 2 R1 . Но собственные функции произвольного самосопряженного оператора |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются собственными и для функции от оператора |
f(A) , а собственные значения оператора |
f(A) |
ýòî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
числа f(p) ), ãäå p собственные числа |
A : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
A' = ¸ih'; F |
(i) |
iF |
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
F |
(i) |
) f(A)F (k) = f(¸k)F (k) : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
f(¸ |
i |
) '; F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f(A)'P |
|
|
|
h |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
функцию |
|
|
|
|
|
ipx |
оператора дифференцирования |
|
функцией |
|
|
||||||||||||||||||||
Подействуем на собственную |
|
|
P |
|
|
|
F = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
f(D) = |
[¡eihD ¡ e¡ihD + 2] от этого оператора:
[¡eihD ¡ e¡ihD + 2]F = [¡eiph ¡ e¡iph + 2]F = 2[1 ¡ cos ph]F :
В силу симметрии f(D) |
очевидно что f(p) = f(¡p) , поэтому собственная функция e¡ipx отвечает тому |
же собственному числу |
2[1 ¡ cos(ph)] , ÷òî è eipx (равно как и любая их линейная комбинация). В нашей |
задаче необходимо удовлетворить граничным условиям F (0) = F (a) = 0 . Из первого граничного условия |
F0 = 0 |
следует, что компоненты собственного вектора, отвечающего собственному числу p , имеют вид |
|||||||||
Fjp = sin pxj , ãäå xj = hj . Второе граничное условие |
FN+1 = 0 позволяет определить сами собственные |
|||||||||
числа: |
sin ph(N + 1) = 0 , откуда ph(N + 1) = ¼n , èëè |
pn = |
|
¼n |
= ¼n |
, |
n = 1; 2; : : : ; N . Òî åñòü â |
|||
|
h(N+1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||
задаче (20) собственные векторы имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn : F n = sin |
¼n |
x |
; x |
|
= hj : |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||
|
j |
j |
|
j |
|
|
|
|
|
Заметим, что значение истинной собственной функции Φn оператора двойного дифференцирования в любой точке xj совпадает с j-компонентой n-го собственного вектора разностного оператора:
Φn(xj) = Fjn :
Посмотрим теперь насколько отличаются собственные значения ¸n оператора двойного дифференцирова-
ния и собственные числа ˜ ¹
¸n = n
h2 разностного оператора (19):
|
|
˜ |
¹n |
2 |
|
|
2 |
|
¼n |
|
||||
|
|
¸n = |
|
|
= |
|
|
[1 ¡ cos pnh] = |
|
|
[1 ¡ cos |
|
h] |
|
|
|
h2 |
h2 |
h2 |
b |
|||||||||
2 |
|
¼2n2 |
|
|
¼2n2 |
|
|
|
||||||
= |
|
[1 ¡ 1 + |
|
|
h2 |
+ O(h4)] = |
|
|
+ O(h2) = ¸n |
|||||
h2 |
2b2 |
b2 |
|
=
+ O(h2) :
37
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu38x1.jpg)
3.5.3 Резольвента
Определение. Пусть A линейный оператор, функция от оператора |
R¸(A) = (A ¡ ¸)¡1 называется |
|||||
pезольвентой оператора |
A . |
|
|
|
|
|
Резольвента R¸(A) |
определена , как легко видеть, не пpи всех ¸, а лишь вне спектра. |
|||||
Пусть A самосопряженный оператор с дискретным спектром, ¸k |
его собственные числа, 'k |
|||||
соответствующие собственные функции. Выпишем спектральное разложение A : |
||||||
|
A = X¸kPk = X¸kh¢; 'ki'k ; jj'kjj = 1 : |
|||||
Поскольку функция от оператора записывается как |
|
|
|
|
|
|
|
f(¸) = Xf(¸k)h¢; 'ki'k ; |
|
||||
то резольвента в спектральном представлении оператора |
A имеет вид |
|
||||
|
X |
|
¡ |
|
|
|
|
R¸(A) = |
h¢; 'ki'k |
: |
(21) |
||
|
k |
¸k |
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (21) вместо 'k нормированные на единицу собственные функции оператора либо второй
производной либо собственные векторы разностного оператора, а вместо ¸k соответствующие собственные
значения ¼2k2 |
2 |
(1¡cos |
¼k |
h) разностного, |
|
b2 |
оператора двойного дифференцирования или собственные числа |
h2 |
b |
мы получим, соответственно, pезольвенту оператора второй производной или разностной второй производ-
íîé. |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ½2 |
= |
sin2( |
¼nx )dx , тогда нормированные собственные функции оператора двойного дифферен- |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
0 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¼n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют вид |
|
(n) |
|
|
. В случае разностного оператора положив |
||||||||||||||||
|
F |
= ½n |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½n2 = |
Xj |
sin2 |
¼n |
xj ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем нормированные собственные векторы |
Fn |
с компонентами |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fjn = |
1 |
sin |
|
¼n |
xj = |
1 |
sin |
¼n |
hj : |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½n |
|
b |
|
|
½n |
b |
Получим матричные элементы резольвенты разностного оператора. В базисе из собственных векторов разностного оператора, резольвента, очевидно, представляется диагональной матрицей. Пусть
некоторый ортонормированный базис в RN и v произвольный вектор. Разложим v и собственные векторы Fn по этому базису
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
N |
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Xi |
v = hv; eiiei = viei ; |
|
|
|
Fn |
= hFn; eiiei |
= Finei : |
||||||||||||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
Действие резольвенты на |
v имеет вид |
|
h |
|
|
i |
|
|
|
lP |
|
|
|
|
|
|
||
|
R¸(A)v = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
Fi : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
vlF i |
|
|
|
||
|
|
N |
|
|
|
¡ |
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
X |
|
¡ |
|
l |
|
|
|
||
|
|
|
|
v; Fi Fi |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
=1 |
|
¸i |
|
|
¸ |
|
i=1 |
¸i |
|
¸ |
|
|
|
|||
k-ая компонента вектора |
R¸(A)v |
åñòü |
P |
|
|
|
|
Fk = |
|
|
|
l k vl ; |
||||||
|
[R¸(A)v]k = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
N |
vlFli |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
N |
|
|
|
N |
N |
|
|
i |
|
i |
||||||
|
|
X |
|
|
¡ |
|
|
|
|
XXl |
|
¡ |
|
|
||||
|
|
|
l=1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
F F |
|
|
|||
|
|
i=1 ¸i |
|
|
¸ |
|
|
i=1 =1 ¸i |
|
|
¸ |
38
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu39x1.jpg)
то есть матричные элементы оператора R¸(A) имеют вид:
XN F iF i
R¸(A)kl = i=1 ¸il¡k¸ :
Верхний индекс у F нумерует собственные функции, нижний индекс их компоненты.
3.5.4 Теория возмущений
Спектр оператора двойного дифференцирования и спектр соответствующего разностного оператора нам известен. Рассмотрим соответствующие возмущенные задачи:
( |
¡ |
d2 |
Ψ + "q(x)Ψ = ¸Ψ; |
¡ |
Fi¡1¡2Fi¡Fi+1 |
+ "qiFi = ¸Fi ; |
dx2 |
h2 |
|||||
Ψ(0) = Ψ(b) = 0; |
(F0 = FN+1 = 0 : |
Здесь " малый паpаметp, q потенциал.
Изложим суть метода теории возмущений [18] для случая оператора с дискретным спектром. Пусть A è Q два сомосопряженных оператора, причем собственные функции и собственные значения A известны:
AΨk = ¸kΨk :
Требуется провести приближенно спектральный анализ возмущенного оператора |
A + "Q , то есть найти |
решения задачи |
|
[A + "Q]'k = ¹k'k : |
(22) |
Будем предполагать, что спектр A невырожден. Разложим собственные значения и собственные функции возмущенного оператора по степеням малого параметра " :
|
|
|
|
|
|
¹k = ¸k + "¹(1) |
+ "2¹(2) |
+ : : : |
; |
(23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'k = Ψk + "'(1) |
+ "2'(2) |
+ : : : |
; |
(24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
ãäå ¸k(i) |
è 'k(i) |
некоторые неизвестные числа и функции, соответственно. Ограничимся первым порядком |
|||||||||
теории возмущений. Подставляя в (22) выражения (23), (24) и учитывая само уравнение |
AΨk = ¸kΨk , ñ |
||||||||||
точностью до членов первого порядка по " получаем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
[A + "Q ¡ ¸k ¡ "¹k(1)](Ψk + "'k(1)) = 0 ; |
|
|||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A ¡ ¸k)Ψk +"[(A ¡ ¸k)'k(1) + (Q ¡ ¹k(1))Ψk] = 0 : |
|
|||||||
Таким образом, необходимо |
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
решить уравнение: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(A ¡ ¸kI)'k(1) = (¹k(1) ¡ Q)Ψk : |
(25) |
Обозначим A ¡ ¸kI = B . Это вырожденный оператор (поскольку имеет нулевое собственное значение: BΨk = 0 ). Пусть также (¹(1)k ¡ Q)Ψk = g . Тогда задача сводится к уравнению
B'(1)k = g :
39
![](/html/1334/288/html_okM94lQ3sd.w0kj/htmlconvd-k9liqu40x1.jpg)
В соответствии с альтернативами Фредгольма, эта задача имеет единственное решение, если функция g ортогональна ядру сопряженного оператора, то есть решениям задачи B¤g = 0 . Не вдаваясь в доказательства, поясним этот результат следующим образом. Представим g в виде суммы двух функций, одна из которых принадлежит ядру сопряженного оператора, а другая ортогональному дополнению: g = v1 + v2 , v1 ? v2 , B¤v1 = 0 . Тогда
jjgjj2 = hB'(1)k ; gi = h'(1)k ; B¤(v1 + v2)i = hB'(1)k ; v2i = hv1 + v2; v2i = hv2; v2i ;
то есть норма не зависит от проекции g на ядро сопряженного оператора, иначе говоря, этой проекции
просто нет. В нашей ситуации B = A ¡ ¸kI самосопряженный оператор. Таким образом, условие разрешимости (25) принимает вид (¹(1)k ¡ Q)Ψk ? Ψk èëè h(¹(1)k ¡ Q)Ψk; Ψki = 0 , откуда
¹(1)k = hQΨk; Ψki :
Таким образом, поправки к собственным значениям определены. Поправки к собственным функциям опре-
деляем из того же уравнения (25)
(A ¡ ¸k)'(1)k = (¹(1)k ¡ Q)Ψk :
То есть формально |
|
|
|
|
hΨi; (¹k(1) ¡ Q)Ψki |
|
|
||
'(1) = R |
|
(A)(¹(1) |
|
Q)Ψk = |
|
Ψi : |
|||
k |
¸k |
k |
¡ |
Xi |
¸i |
¡ |
¸k |
k |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Íî R¸(A) ïðè ¸ = ¸k не является ограниченным оператором. С другой стороны h(¹(1)k ¡ Q)Ψk; Ψki = 0 , поэтому суммирование можно вести по i =6 k . Продолжая равенство, получаем
'(1) = |
hΨi; (¹k(1) ¡ Q)ΨkiΨi = |
X |
hΨi; QΨki |
Ψi : |
||
X |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
i=k |
¸i ¡ ¸k |
i=k ¸k ¡ ¸i |
|
|||
6 |
|
|
6 |
|
|
|
Здесь мы воспользовались тем, что собственные функции ортогональны. Итак, в первом порядке теории возмущений
¹k = ¸k + "hQΨk; Ψki ;
X |
hΨi; QΨki |
|
'k = Ψk + " |
|
Ψi : |
i=k |
¸k ¡ ¸i |
|
6 |
|
|
40