28.Симметрические матицы и их свойства. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.

Опр. Кв.матр. А наз-ся симметричной, если .

Св-ва симметр.матриц:

1.(А+В)- симметр, если А,В- симметр.сумма симм.матриц=симм.матр.

2.Если А- невырожд. симм.матр., то - симм.матрица.

Теорема: Всякая симм.матрица мб приведена преобразованием подобия к диаг.виду. Можно считать, что симм.матрица- матр. нек. самосопряж. оператора в ортонормир. базисе. С др. стороны, сущ-ет ортонормир. базис, в к-ом данный самосопряж. оператор имеет диаг. матрицу. А поскольку матр. перехода от 1-го ортонормир. базиса к др. явл-ся ортогон., то, след-но, всякая симм. матр. с пом. ортогон. преобразования мб приведена к диаг. виду.

, где А-симм. матр., Т-ортогон. матр., -диаг.

Поск. , .

29.. Сопряж. Операторы и их св-ва.

Опр. Оператор наз-ся сопряж. для оп-ра , если (fx, y)=(x, y), x,y E.

Лемма 1. Если для x,y E справедл. рав-во (fx, y)=(gx, y),то f=g.

(fx, y)-(gx, y)=((f-g)x, y)=0 x, y E

(f-g)x=0, x E

f-g= O –нул. оп-р

_f=g.

_{Лемма 2.Если вектор xϵE ортогональный всем векторам y ϵE то x=нулевой вектор.}

Теорема:Для каждого оператора f: сопряж. оп-р сущ-ет и ед-ный. При этом, если А- матр. оп-ра f в нек. ортонормир. базисе, то явл-ся матр. этого же оп-ра в этом же базисе.

30. Самосопряженные линейные операторы и их свойства Опр.: Оператор f:E->E называется самосопряженным, если f* = f. Т1: матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе симметрична. Т2: самосопряженный оператор f имеет хотя бы одно собственное значение. Т3: все собственные значения и характеристические числа самосопряженного оператора действительны. Т4: собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Док-во: пусть fx1=λ1x1, fx2=λ2x2, λ1≠λ2 (fx1, x2) = λ1(x1, x2) (fx1, x2) = (x1, fx2) = λ2(x1, x2) λ1(x1, x2) = λ2(x1,x2) (λ1-λ2)(x1, x2) = 0 => (x1, x2)=0 Т5: существует ортонормированный базис в пр-ве En, в котором матрица самосопряженного оператора f диагональная. Замечание: если все собственные значения различны, то существует базис. Если имеются кратные характеристические числа оператора f, то мн-во собственных векторов, отвечающих этому собственному значению, образуют подпространство, размерность которого равна кратности корня характеристического уравнения. Пусть эта размерность равна k, значит, в нем имеется k линейно независимых векторов. Методом ортогонализации Грамма-Шмидта можно построить на их основе k попарно ортогональных собственных векторов. Т6: всякую симметричную матрицу ортогональным преобразованием подобия можно привести к диагональному виду. Док-во: любую симметричную матрицу А порядка n можно рассматривать как матрицу самосопряженного оператора в ортонормированном базисе е1…еn (1); существует базис е1’…en’ (2), согласно теореме5, в которой матрица самосопряженного оператора имеет диагональный вид. A’ = T^-1AT, т.к. Т – матрица перехода от одного ортонормированного базиса (1) к другому (2), то по теореме (матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональна) она ортогональна.

31. Изометрия Опр.: линейный оператор f:E->E называется изометрией, если он сохраняет значение скалярного произведения, т.е. (fx, fy) = (x,y) Свойства: 1. Характеристические числа матрицы изометрии по модулю равны единице. (Док-во: λ-характеристическое число матрицы линейного оператора, Ах = λх, А – матрица изометрии; (Ах, Ах) = (λх, λх) = λ2(х, х) = (х, х); IλI =1) 2. f является изометрией в том и только том случае, если IfxI = IxI для док-ва достаточно рассмотреть равенство If(λx+y)I = Iλx+yI 3. Изометрия преобразует ортонормированный базис в ортонормированный. (Док-во: необходимость: f – изометрия; Если векторы е1…еn преобразуют ортонормированный базис в En это значит,что (ei, ej) = δij ; (fei, fej) = (ei, ej) = δij ; достаточность: Пусть оператор f преобразует ортонормированный базис в ортонормированный; возьмем произвольные векторы: x = ∑αi ei y = ∑βj ej fx = ∑αi fei fy = ∑βj fej Надо показать, что fx и fy не меняются: (fx, fy) = (∑αi fei , ∑βj fej)=∑i∑j αi βj (ei, ej)=∑i∑j αi βj δij (в силу ортогональности векторов) = ∑i αi βi (1) (x, y) = (∑αi ei , ∑βj ej) = ∑i αi βi (2) Сравнивая (1) и (2), мы видим, что (fx, fy) = (x,y), следовательно, f – изометрия.

32. Движение в евклидовом пространстве A = ; собственные значения этой матрицы = 0 λ² – λ(a+d) + Δ = 0, где Δ – определитель А. В силу того, что IΔI = 1, Δ=+- 1 При Δ = -1 λ² – λ(a+d) -1 = 0, λ1 =1, λ2 = -1 (др. случаев быть не может, т.к произведение =1) Получим отражение от оси: Ах’ = = Δ =1 AA^T = = E (т.к. ортогональные операторы при умножении на транспонир.)

Подставим в систему и получим cosφ sinψ + sinφcosψ = 0 ;sin(φ+ψ)=0 ; φ+ψ=0 ; φ = -ψ Значит матрица А имеет вид: А = , которая осуществляет поворот на φ. В 3-х мерном пространстве аналогично.