17 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Tеорема М-ца лин. оператора имеет диаг-ный вид только в том случае, если сущ-ет базис в пр-ве из собственных векторов этого оператора. М-ца лин. оператора в базисе из собственных векторов – диаг-ная.

Пусть матрица А – м-ца лин. оператора f задана в некотором базисе , … , и пусть сущ-ет базис из собственных векторов , …, в этом базисе А’ – диаг-я, выразим векторы базиса [е'] через векторы базиса [е]

[е'] = [е] Т, где Т - м-ца перехода. Поэтому у м-цы Т столбцы – координаты собственных векторов, выраженные в базисе [е].

A’ = T^-1 A T

Это соотношение дает правило приведения матрицы линейного оператора к диаг-му виду, если у него сущ-ет базис из собственных векторов.Если все характ-кие числа м-цы лин. оператора различны и пренадлежат полю Р, то его м-ца может быть приведена к диаг-му виду

Пусть - собственное значение кратности к больше 1. (А – Е) Х = 0 эта система бедет иметь ФСР состоящую из к в том случае, если ранг матрицы rank (А – Е) = n – k

Tеорема Если характ-кие числа м-цы А = ₁ … _n кратности к₁ … к_n (к₁ + … + к_n = n) при этом rank (А – Е) = n – _I I = 1.... n, то сущ-ет невыр-я м-ца Т, такая что A’ = T^-1 A T имеет диаг-ный вид.

Правила приведения матрицы к диагональному виду:

1. Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе. Находим ее характеристические числа и определяем их кратность

Проверим, все ли характеристические числа принадлежат полю Р, если нет, то матрица не приводится к диагональному виду; если да, то следующий шаг

2. Проверяем условие (А – _i Е) = n – _I , если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то матрица не может быть приведена к диагональному виду; если все выполняются, то следующий шаг

3. Находим матрицу перехода от данного базиса к базису из собственных векторов, для этого решаем систему (А – Е) Х = 0

4. Строим матрицу А', у которой на главной диагонали стоят собственные значения оператора f , при этом каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность, все остальные элементы 0

5. Строим матрицу Т перехода, в которой столбцами являются координаты собственных векторов, при том располагаются они в соответствии с расположением собственных значений матрицы А'

18. Присоединенные векторы

Пусть f: Vn->Vn и пусть – собственный вектор, такой, что f = λ

Пусть вектор удовлетворяет условию: f = λ

Вектор удовлетворяет условию f = λ

f + , тогда векторы — присоединенные векторы к вектору

Теорема 1. Вектор и присоединенные векторы - линейно-независимые.

Теорема 2. Каждому собственному значению λ может отвечать собственных векторов и присоединенные , где m – кратность корня характеристического уравнения.

19. Понятие о жордановой форме матрицы

Жордановой клеткой называется матрица

T =

Будем говорить, что A’ имеет нормальную Жорданову форму, если ее можно представить в виде:

, где - Жордановы клетки с диагональными элементами

Теорема: любая матрица невырожденным преобразованием приводится к Жордановой нормальной форме, т.е. матрица подобна некоторой Жордановой матрице.

A’ = *A*T, где T – невырожденная матрица.

Замечание: Для приведения матрицы к Жордановой форме, необходимо сначала найти собственные значения этой матрицы. Если все собственные значения различны, то матрица приводится к диагональному виду. Если - корень кратности к и пусть ему отвечает р-линейно независимых векторов, р<k, тогда можно найти k-p присоединенных векторов к одному или нескольким лин. независимым собственным векторам.