9.Сумма и произведение линейных пространств

Опр1. Пересечением подпр-в W₁,W₂ наз-ся мн-во эл-в пр-ва W, элементы которого ϵ как подпр-ву W₁, так и W₂

W={x, xϵ , xϵ }

Опр2. Суммой подпр-в W₁, W₂ наз-ся мн-во W=W₁+ W₂ такое, что каждый элемент которого можно представить в виде z=x+y, x X₁ и y∈ X₂

Опр3. Множество W называется прямой суммой W₁, W₂ и обозначается W₁ W₂ =W, где W – cумма подпространств W₁ и W₂. Аналогичным образом можно опр-ть объединение, сумму и прям.сумму любого конечн. мн-ва лин. подпр-в.

Т.1. Объед. и сумма 2-х лин. подпр-в явл-ся также лин. подпр-вом.

Т.2. dim(X₁+X₂)=dim X₁+dim X₂-dim(X₁∩X₂)

10. Линейный оператор, примеры, свойства.

Лин. оп-ром , где W и W’ – два лин. пр-ва над одним и тем же полем Р наз-ся отображение, удовлетворяющее след. услов.: 1)

Усл. 1) и 2) можно заменить одним: .

Прим.1.

1)f(x+y) =

Прим.2. Тождественн. лин. оп-р.

Прим.3.Рассмотрим

->

D(f+g) = Df+Dg

D(λf) = λDf

Прим.4.

:V2->V2 – оператор поворота вектора на угол против часовой стрелки. Покажем, что эта операция линейная. Возьмем 2 вектора x и у, повернем их на угол : f(x)+f(y)=f(x+y). Аналогично, если умножить на λ: f(λx = λf(x).

Св-ва лин. оп-ров:

1. f: V->W удовлетворяет следующему условию: f( ) =

2. лин. оп-р преобразует лин.зависим. вект. в лин. зависим.

Теорема о единственности. Если - (1) базис в пр-ве L_n и –(2) некоторый набор элем. в пр-ве , тогда сущ-т единственный лин. оп-р такой, что

11. Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.

. Такие операторы называют линейными преобразованиями. Пусть - базис пр-ва и рассм. образ базиса f( )…f( ). Разложим в-ры образа по базису

(2)

Координатный столбец вектора обозначим через

[

Матр. лин. оп-ра в баз. (1) – матр.,состоящая из координатных столбцов векторов f( )…f( ) в базисе (1).

[

Изменение матр.лин. оп-ра при измен. базиса. Пусть (1) и (2)- два базиса в пр-ве . и - соотв. матр. оп-ра в соотв. баз. (1) и (2), тогда

. (3)

Матр. и , связанные рав-вом (3), где Т- невырожд. матр., наз-ся подобными.

Т.2. Подобные матр. имеют равные определители.

12. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.

Пусть f, g- лин. оп-ры, действ. из над полем Р.

Сумма операторов f и g — оп-р такой, что

Произведение лин. оп-ра f на λ — оп-р такой, что

Произведение f и g — это отображение h=gf такое, что h(x)=g(f(x)).

Т.1. Сумма двух оп-ров, произвед. оп-ра на число, произвед. двух оп-ров – лин. операторы.

Т.2. Если А и В – матр. лин оп-ров f и g в одном и том же базисе, то матр. оп-ров , , имеют вид соотв. А+В, А, ВА в этом же базисе.

Т.3. Мн-во всех лин. оп-ров, действ. из образует лин. пр-во.

Из опр. и Т.1 след., что на мн-ве лин оп-ров, действ. из определены внутр. и внеш. операции. Необходимо проверить выполнение всех восьми аксиом лин. пр-ва.