§1 Системы множеств

Вспомним некоторые формулы, связанные с симметрической разностью множеств:

, где - дополнение.

Определение 1. Непустая система множеств называется кольцом, если вместе с любыми двумя множествами она содержит их пересечение и симметрическую разность, т.е. и .

Условие равносильно условию . Это следует из формул, написанных выше и . Таким образом, в определении кольца вместо можно взять . Т.е. кольцо - это система множеств, замкнутая относительно операций пересечения, объединения, разности и симметрической разности двух (и любого конечного числа) множеств.

• Если кольцо содержит хотя бы одно ненулевое множество, то . ( Если )

• Пересечение любого числа колец является кольцом.

Примеры колец:

1. Множество ограниченных множеств из .

2. Множество измеримых по Жордану множеств.

3. Множество всех подмножеств множества . Например, для имеем .

Любую систему множеств, не являющуюся кольцом, можно дополнить до кольца.

Определение 2. Пусть - система множеств, . Кольцо и такое, что содержится в любом кольце, содержащем , называется минимальным кольцом над или кольцом порожденным .

Примеры:

1. .

Тогда

2. - множество всех промежутков на прямой, не является кольцом. Тогда - множество, состоящее из всевозможных конечных объединений промежутков.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств существует и единственно минимальное кольцо .

Существование докажем построением. Пусть - система всех подмножеств множества . Пусть - множество всех колец в и содержащих . Тогда - искомое минимальное кольцо над .

Единственность очевидна, т.к. если бы минимальных кольца было два, то их объединение также было бы искомым кольцом. ■

Определение 3. Множество называется единицей системы , если .

Определение 4. Кольцо с единицей называется алгеброй множеств.

Если - алгебра, то , т.е. алгебра множеств замкнута по отношению с дополнению.

Примеры:

1. - алгебра с единицей А.

2. - множество всех подмножеств А – алгебра с единицей А.

3. Система всех конечных подмножеств множества А – кольцо, но алгебра только если А – конечно.

4. В множество всех клеточных множеств лежащих внутри - алгебра с единицей _.

Определение 5. Система множеств называется полукольцом если:

1. 

2. 

3. 

Примеры:

1. - полукольцо.

2. В множество всех прямоугольников образуют полукольцо.

На полукольце минимальное кольцо строится просто: .

Определение 6. Кольцо множеств называется -кольцом, если: . Кольцо множеств называется -кольцом, если: .

-алгеброй называется -кольцо с единицей.

-алгеброй называется -кольцо с единицей.

Замечание: понятия -алгебры и -алгебры равнозначны.

, ■

Примеры:

1. - -алгебра.

2. Множество клеточных множеств внутри прямоугольника не является -алгеброй.

Определение. Минимальной алгеброй ( -алгеброй) над называется алгебра ( -алгебра) и содержащаяся в алгебре ( -алгебре), содержащей .

Определение. Пусть -множество всех отрезков . Борелевским множеством называется элемент борелевской - алгебры , т.е. минимальной -алгебры над .