Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Экзамен_шпоры.docx
Скачиваний:
66
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
2.22 Mб
Скачать

8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-

ном переходе, о непрерывности, об изменении порядка интегрирования (один инте-

грал несобственный, второй - собственный).

П.3 Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов

Теорема 4 (о предельном переходе). Пусть определена на , сходится равномерно на к при и сходится равномерно на .

Тогда .

□ сходится равномерно :

сходится.

Рассмотрим

Второе и третье слагаемое .

равномерно сходится к при . Тогда

Теорема 5 (о непрерывности). Пусть непрерывна на и сходится равномерно на . Тогда непрерывна на .

:

Пусть . Рассмотрим

Второе и третье слагаемые .

- непрерывная функция (как собственный интеграл). Значит :

Теорема 6 (об изменении порядка интегрирования). Пусть непрерывна на и сходится равномерно на . Тогда .

: . Тогда .

Пусть . Тогда , а

Пример. Интеграл Дирихле . (Доказательство)

9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-

ренцировании по параметру, об изменении порядка интегрирования в случае, когда

оба интеграла несобственные.

Теорема 7 (о дифференцировании по параметру). Пусть - непрерывна на , - сходится равномерно на , сходится. Тогда - сходится на , непрерывно дифференцируема и .

□ Пусть . Рассмотрим

Пример (интегралы Лапласа):

, , .

Пусть .

- сходится равномерно на .

, , монотонно,

сходится равномерно на .

Имеем .

Так как , то и при . Найдем :

- непрерывна на R,

Окончательно, .

Теорема 8 (изменение порядка интегрирования в случае, когда оба интеграла несобственные). Пусть - непрерывна на (точки b и d особые) и выполнены условия

сходится равномерно на ;

сходится равномерно на ;

3) Один из интегралов или сходится.

Тогда оба повторных интеграла от сходятся и

□Обозначим

1. и . Пусть . Тогда

, : .

Аналогично для

Для случая доказательство аналогично.

2. Пусть теперь меняет знак. Рассмотрим неотрицательные функции

Для и теорема верна. Следовательно

Пример 1. Интеграл Пуассона

10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-

должение на отрицательную ось, график. Бета-функция: определение, свойства.

§3. Эйлеровы интегралы

П.1 Гамма-функция Эйлера

Определение: .

Особые точки 0 и 1: .

Пусть .

Тогда - сходится.

При - сходится.

Так как оба интеграла сходятся равномерно на любом , то - непрерывна на .

- сходится равномерно, так как не испортит сходимость.

- график имеет выпуклость вниз при .

Основное соотношение для гамма-функции

Пусть , тогда: ,

Пусть: , тогда . Т.е. при .

Доопределим гамма-функцию для нецелых отрицательных значений аргумента исходя из основного соотношения .

Пусть: и непрерывна.

При

П.2 Бета-функция Эйлера

- сходятся при

Свойства

1)

2)

(замена во 2-ом интеграле )

3) при : , .

□Имеем . Вспомним сумму прогрессии

Рассмотрим при .

Вспомним разложение .

Тогда при имеем

■ 4)

□ Рассмотрим

Следствия:

1) Формула дополнения. Для

2)При