
- •1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-
- •§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.
- •3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема
- •4.Равномерная сходимость ряда Фурье: Неравенство Бесселя, Теорема о равномерной
- •5.Сходимость семейства функций: определение равномерной сходимости семейства
- •6.Собственные интегралы с параметрами: свойства, теорема о дифференцировании
- •§1. Собственные интегралы с параметрами
- •7. Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметрами: определение,
- •8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
- •9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
- •10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
- •§3. Эйлеровы интегралы
- •11. Интеграл Фурье: определение, теорема (с леммами) о сходимости интеграла Фу-
- •§4 Интеграл Фурье
- •12. Преобразование Фурье: определение, свойства (ограниченность и непрерывность
- •§5. Преобразования Фурье
- •13. Теоремы о преобразовании Фурье и дифференцировании. Преобразование Фурье
- •14. Системы множеств: определения кольца, минимального кольца. Теорема о сущест-
- •§1 Системы множеств
- •15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-
- •16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.
- •17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности
- •18. Теорема о непрерывности меры Лебега. Какие множества измеримы по Лебегу?
- •19. Обобщение понятие меры Лебега на случай всей плоскости. Пример неизмеримого
- •20.Мера Лебега-Стилтьеса. Понятие абсолютно-непрерывной, дискретной и сингу-
- •21. Общее понятие меры. Продоление меры. Теорема о существовании и единственно-
- •§3 Общее понятие меры
- •22. Лебегово продолжение меры. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.
- •§4. Лебегово продолжение меры
- •23. Измеримые функции: определения (X,y ) – измеримой, -измеримой, борелев-
- •24. Теорема об арифметических операциях с измеримыми функциями. Теорема об из-
- •25.Понятие сходимости почти всюду. Теорема Егорова.
- •26. Понятие сходимости по мере. Две теоремы о связи сходимости по мере и сходимо-
- •27. Простые функции: определение, теорема о простой функции. Необходимое и дос-
- •28. Интеграл Лебега для произвольных функций. Свойства интеграла Лебега. Теорема
- •29. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Лебега (с док-вом). Теоремы
- •30. Понятие сигма-конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
- •31. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
- •32. Произведение мер. Формула для нахождения меры множества с помощью интегра-
- •§ 7 Произведение мер. Теорема Фубини.
- •33. Пространства суммируемых функций l1 и l2 . Теорема о полноте пространства l1.
- •§ 8 Пространства суммируемых функций.
8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
ном переходе, о непрерывности, об изменении порядка интегрирования (один инте-
грал несобственный, второй - собственный).
П.3 Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов
Теорема
4 (о предельном переходе). Пусть
определена на
,
сходится равномерно на
к
при
и
сходится равномерно на
.
Тогда
.
□
сходится
равномерно
:
сходится.
Рассмотрим
Второе
и третье слагаемое
.
равномерно
сходится к
при
.
Тогда
∎
Теорема
5 (о непрерывности). Пусть
непрерывна на
и
сходится равномерно на
.
Тогда
непрерывна на
.
□
:
Пусть
.
Рассмотрим
Второе и третье слагаемые .
-
непрерывная функция (как собственный
интеграл). Значит
:
∎
Теорема
6 (об изменении порядка интегрирования).
Пусть
непрерывна на
и
сходится равномерно на
.
Тогда
.
□
:
. Тогда
.
Пусть
.
Тогда
,
а
∎
Пример.
Интеграл
Дирихле
.
(Доказательство)
9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
ренцировании по параметру, об изменении порядка интегрирования в случае, когда
оба интеграла несобственные.
Теорема
7 (о дифференцировании по параметру).
Пусть
-
непрерывна на
,
- сходится равномерно на
,
сходится. Тогда
- сходится на
,
непрерывно дифференцируема и
.
□ Пусть
.
Рассмотрим
■
Пример (интегралы Лапласа):
,
,
.
Пусть
.
-
сходится равномерно на
.
,
,
монотонно,
сходится
равномерно на
.
Имеем
.
Так
как
,
то
и
при
.
Найдем
:
-
непрерывна на R,
Окончательно,
.
Теорема
8 (изменение порядка интегрирования в
случае, когда оба интеграла несобственные).
Пусть
-
непрерывна на
(точки
b
и d
особые) и выполнены условия
сходится
равномерно на
;
сходится
равномерно на
;
3)
Один из интегралов
или
сходится.
Тогда
оба повторных интеграла от
сходятся
и
□Обозначим
1.
и
.
Пусть
.
Тогда
,
:
.
Аналогично
для
Для
случая
доказательство
аналогично.
2. Пусть
теперь
меняет знак. Рассмотрим неотрицательные
функции
Для
и
теорема верна. Следовательно
■
Пример
1. Интеграл
Пуассона
10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
должение на отрицательную ось, график. Бета-функция: определение, свойства.
§3. Эйлеровы интегралы
П.1 Гамма-функция Эйлера
Определение:
.
Особые
точки 0 и 1:
.
Пусть
.
Тогда
- сходится.
При
- сходится.
Так
как оба интеграла сходятся равномерно
на любом
,
то
- непрерывна на
.
-
сходится равномерно, так как
не испортит сходимость.
-
график имеет выпуклость вниз при
.
Основное соотношение для гамма-функции
Пусть
,
тогда:
,
Пусть:
,
тогда
.
Т.е. при
.
Доопределим
гамма-функцию для нецелых отрицательных
значений аргумента исходя из основного
соотношения
.
Пусть:
и
непрерывна.
При
П.2 Бета-функция Эйлера
-
сходятся при
Свойства
1)
∎
2)
(замена
во 2-ом интеграле
)
∎
3)
при
:
,
.
□Имеем
.
Вспомним сумму прогрессии
Рассмотрим
при
.
Вспомним
разложение
.
Тогда
при
имеем
■ 4)
□ Рассмотрим
Следствия:
1)
Формула дополнения. Для
2)При