8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
ном переходе, о непрерывности, об изменении порядка интегрирования (один инте-
грал несобственный, второй - собственный).
П.3 Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов
Теорема
4 (о предельном переходе). Пусть
определена на
,
сходится равномерно на
к
при
и
сходится равномерно на
.
Тогда
.
□
сходится
равномерно
:
сходится.
Рассмотрим
Второе
и третье слагаемое
.
равномерно
сходится к
при
.
Тогда
∎
Теорема
5 (о непрерывности). Пусть
непрерывна на
и
сходится равномерно на
.
Тогда
непрерывна на
.
□
:
Пусть
.
Рассмотрим
Второе и третье слагаемые .
-
непрерывная функция (как собственный
интеграл). Значит
:
∎
Теорема
6 (об изменении порядка интегрирования).
Пусть
непрерывна на
и
сходится равномерно на
.
Тогда
.
□
:
. Тогда
.
Пусть
.
Тогда
,
а
∎
Пример.
Интеграл
Дирихле
.
(Доказательство)
9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
ренцировании по параметру, об изменении порядка интегрирования в случае, когда
оба интеграла несобственные.
Теорема
7 (о дифференцировании по параметру).
Пусть
-
непрерывна на
,
- сходится равномерно на
,
сходится. Тогда
- сходится на
,
непрерывно дифференцируема и
.
□ Пусть
.
Рассмотрим
■
Пример (интегралы Лапласа):
,
,
.
Пусть
.
-
сходится равномерно на
.
,
,
монотонно,
сходится
равномерно на
.
Имеем
.
Так
как
,
то
и
при
.
Найдем
:
-
непрерывна на R,
Окончательно,
.
Теорема
8 (изменение порядка интегрирования в
случае, когда оба интеграла несобственные).
Пусть
-
непрерывна на
(точки
b
и d
особые) и выполнены условия
сходится
равномерно на
;
сходится
равномерно на
;
3)
Один из интегралов
или
сходится.
Тогда
оба повторных интеграла от
сходятся
и
□Обозначим
1.
и
.
Пусть
.
Тогда
,
:
.
Аналогично
для
Для
случая
доказательство
аналогично.
2. Пусть
теперь
меняет знак. Рассмотрим неотрицательные
функции
Для
и
теорема верна. Следовательно
■
Пример
1. Интеграл
Пуассона
10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
должение на отрицательную ось, график. Бета-функция: определение, свойства.
§3. Эйлеровы интегралы
П.1 Гамма-функция Эйлера
Определение:
.
Особые
точки 0 и 1:
.
Пусть
.
Тогда
- сходится.
При
- сходится.
Так
как оба интеграла сходятся равномерно
на любом
,
то
- непрерывна на
.
-
сходится равномерно, так как
не испортит сходимость.
-
график имеет выпуклость вниз при
.
Основное соотношение для гамма-функции
Пусть
,
тогда:
,
Пусть:
,
тогда
.
Т.е. при
.
Доопределим
гамма-функцию для нецелых отрицательных
значений аргумента исходя из основного
соотношения
.
Пусть:
и
непрерывна.
При
П.2 Бета-функция Эйлера
-
сходятся при
Свойства
1)
∎
2)
(замена
во 2-ом интеграле
)
∎
3)
при
:
,
.
□Имеем
.
Вспомним сумму прогрессии
Рассмотрим
при
.
Вспомним
разложение
.
Тогда
при
имеем
■ 4)
□ Рассмотрим
Следствия:
1)
Формула дополнения. Для
2)При
