1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-

нальным системам функций: определения, формулы для коэффициентов ряда Фу-

рье. Лемма Римана.

§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций

П.1 Ортогональные системы функций

Пусть - множество (система) функций, , , тогда называется ортогональной системой , если ( ):

Система называется нормированной, если .

Если выполняются оба условия, то система называется ортонормированной.

Примеры:

1. 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x) … sin(nx), cos(nx) … - ортогональна на [0, 2 ] или [- , ].

2. 1, , … , … - ортогональна на [a, b].

3. Многочлены Лежандра:

- ортогональная на [-1, 1].

П.2 Ряды Фурье по ортогональным системам функций

Пусть ортогональная система на [a,b],

числовая последовательность, .

Рассмотрим , пусть он сходится равномерно на [a, b] Лемма. Пусть равномерно на [a, b], тогда: (*)

□ =

= , (т.к. непрерывны на [a, b])

сходится равномерно , : , _{. Тогда} и сходится равномерно. Значит, его можно проинтегрировать:

,

интеграл в правой части равен нулю, при и ■

Пусть произвольная функция. Если (*), то рассмотрим - ряд Фурье для функции по ортогональной системе функций . Числа , найденные по (*) называются коэффициентами Фурье.

Если абсолютно интегрируема на [a, b], то найдется ряд Фурье для , но он может сходиться не к или вообще расходиться.

Пример:

- ортогональна на ,

Обозначим

Тогда для коэффициентов Фурье справедливы формулы Фурье-Эйлера:

П.3 Лемма Римана

Пусть f(x) абсолютно интегрируема на [a, b] (конечный или бесконечный промежуток). Тогда:

Доказательство:

1. Пусть f(x) абсолютно интегрируема в собственном смысле, то есть

- интеграл Римана.

- разбиение [a, b]: ,

где , , , .

Рассмотрим

_{Последнее неравенство верно, т.к.}

_.

2. и - несобственные

Пусть b - особая точка. Тогда .

Аналогично доказывается, что .

2. Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.

П.1 Частичные суммы рядов Фурье. Формула Дирихле.

Пусть - абсолютно интегрируемая на

- тригонометрический многочлен; «2 »-периодическая функция.

- «2 »-периодическая функция

Лемма.

- ядро Дирихле.

Доказательство:

Свойства ядра Дирихле:

1) Бесконечно дифференцируемая функция;

2) Четная;

3) -периодическая;

4) .

Пусть – -периодическая. Получим формулу для частной суммы ряда Фурье:

_{соберём всё в один интеграл}

Выполняя замену , получаем формулу

Выполняя замену в первом интеграле , получаем

.

- Формулы Дирихле

3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема

Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье.

П.2 Сходимость ряда Фурье в точке

Теорема 1. (Принцип локализации)

Пусть – абсолютно интегрируема на - -периодическая.

Тогда

.

Пусть .

. Так как и , следовательно,

- абсолютно интегрируема, следовательно,

– абсолютно интегрируема на и по лемме Римана ∎

Следствие из принципа локализации:

Для т.е. .

Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет в точке условию Гёльдера, если:

и

_{- показатель Гёльдера.}

_{Определим односторонние производные так:}

_{Тогда е}сли , то , _,

_{т.е. функция, имеющая односторонние производные в данной точке удовлетворяет условию Гёльдера с .}

Примеры:

1. , ,

_{- удовлетворяет условию Гёльдера.}

Теорема 2. (О поточечной сходимости ряда Фурье или Теорема Дирихле)

Пусть - абсолютно интегрируема на , - периодична и в точке удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье для в точке сходится к , т.е. .

Если непрерывна в точке _.

умножая на и складывая с предыдущим равенством получаем:

Рассмотрим интеграл, стоящий в скобках, и подставим выражение для ядра Дирихле:

Обозначим =

;

- абсолютно интегрируема на .

Тогда по лемме Римана ■