23. В каком случае задача оптимального производственного планирования не имеет оптимального плана? Ответ обосновать

Если есть хотя бы одна свободная неизвестная, такая, что коэффициент при ней в последнем уравнении системы положителен, а в первых уравнениях той же системы

среди коэффициентов при ней нет ни одного положительного, то задача линейного программирования неразрешима в силу неограниченности целевой функции на множестве неотрицательных решений системы ограничений. Действительно, если, например Δn>0, в уравнении L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n, но g1n<=0 g2n<=0 в предпочитаемой форме

системы ограничений, то в общем решении системы ограничений мы можем переменную xm+1=…=xn-1 неограниченно увеличивать, положив xn, и тогда, как видно из выражения L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n, целевая функция будет неограниченно убывать и, следовательно, оптимального решения не существует.

23. В каком случае при решении задачи линейного программирования симплекс-методом значения линейной функции двух последовательных планов могут совпасть? Ответ обосновать

В каждом последовательном плане новое значение линейной функции приближается к оптимальному, пока не будет получено оптимальное решение или не будет доказана неограниченность линейной формы на множестве решений системы ограничений

Но это утверждение справедливо только при условии невырожденности рассматриваемой задачи, т. е. если ни на одном этапе процесса решения ни один из свободных членов системы уравнений (H­­_i) не обращается в нуль.

При новое значение линейной формы строго меньше предыдущего и через конечное число шагов мы придем к оптимальному решению или докажем неразрешимость задачи, так как число шагов не может быть больше числа базисных решений , среди которых неотрицательных значительно меньше. В вырожденном случае на одном или нескольких этапах свободный член разрешающего уравнения может оказаться равным нулю, и значение линейной формы не изменится.

23. Сформулировать и доказать условие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений при решении задачи линейного программирования симплекс-методом.

В частном случае общей задачи ЛП система уравнений имеет предпочитаемый вид, при этом правые части всех уравнений неотрицательны.

Допустим необходимо минимизировать целевую функцию L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1), при условиях:

x₁ + g_1,m+1x_m+1 + ... + g_1nx_n = h₁,

x₂ + g_2,m+1 x_m+1 + ... + g_2nx_n = h₂, (2)

... ... ... ...

x_m + g_m,m+1 x_m+1 + ... + g_mnx_n = h_m

и x_j≥0, j = 1,2,...n (3).

Для решения такой задачи применяется симплексный метод линейного программирования.

Из выражения L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n (1) следует, что базисное решение x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 (2) является оптимальным решением задачи ЛП

Базисное решение является единственным оптимальным решением задачи ЛП тогда и только тогда, когда в уравнении среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного, т. е. условие оптимальности имеет вид ∆j≤0 , j=1,2,…,n.

Если же хотя бы один из коэффициентов при свободных неизвестных равен нулю, то будут и небазисные оптимальные решения. Очевидно, оптимальных решений будет еще больше, если среди коэффициентов при свободных неизвестных в уравнении (1) окажется несколько нулевых.

Если есть хотя бы одна свободная неизвестная, такая что коэффициент ∆_j при ней в последнем уравнении системы

положителен, а в первых m уравнениях той же системы среди коэффициентов g_1j, g_2j, …g_mj при ней нет ни одного положительного, то задача линейного программирования неразрешима в силу неограниченности линейной формы L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n на множестве неотрицательных решений системы ограничений.