22. Сформулировать и доказать критерий оптимальности решения задачи линейного программирования при отыскании минимума линейной функции симплексным методом.

Для того, чтобы базисное решение в задаче лп было оптимальным решением этой задачи необходимо и достаточно, чтобы в оценочном уравнении Z0-Z=Σ∆jxj выполнялось условие ∆j≤0 , j=1,2,…,n

Действительно, если в общем решении мы станем придавать различные неотрицательные значения свободным неизвестным так, чтобы соответствующие базисные неизвестные также принимали неотрицательные значения, то одновременно с частными неотрицательными решениями системы ограничений мы будет получать согласно выражению L=L₀-∆_m+1x_m+1-...-∆_nx_n соответствующие им значения целевой функции. В частности, при нулевых значениях свободных неизвестных получится базисное решение x₁=h₁, x₂=h₂,...x_m=h_m, x_m+1=0,...x_n=0 и соответствующее ему значение линейной формы L0=Σcihi. Если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в последнем уравнении вспомогательной системы ,

например, Δm+1 положителен, то мы можем соответствующей свободной неизвестной xm+1 дать в общем решении какое-нибудь положительное значение, сохранив , и получить частное неотрицательное решение с меньшим значением линейной формы.

23. В каком случае базисное оптимальное решение задачи линейного программирования будет ее единственным оптимальным решением? Ответ обосновать

При выполнении условий оптимальности базисное решение будет единственным оптимальным решением задачи линейного программирования тогда и только тогда, когда все коэффициенты при свободных неизвестных в последнем уравнении вспомогательной системы строго отрицательны. Если же хотя бы один из коэффициентов при свободных неизвестных равен нулю, то будут и небазисные оптимальные решения. Действительно, если, например, , то как бы мы не изменяли в общем решении свободную неизвестную X_m+1 в ее неотрицательной области изменения при X_m+2 =…=X_n = 0 , целевая функция будет сохранять одно и то же значение, т. е. мы получим некоторую совокупность оптимальных решений задачи. Очевидно, оптимальных решений будет еще больше, если среди коэффициентов при свободных неизвестных в уравнении окажется несколько нулевых.

23. Доказать, что в случае отсутствия вырождения в задаче линейного программирования на нахождение минимума линейной функции преобразования по симплекс-методу приводят к конечной последовательности монотонно убывающих значений линейной функции

П ри выполнении условий оптимальности базисное решение будет единственным оптимальным решением задачи линейного программирования тогда и только тогда, когда все коэффициенты при свободных неизвестных в последнем уравнении вспомогательной системы строго отрицательны. Если же хотя бы один из коэффициентов при свободных неизвестных равен нулю, то будут и небазисные оптимальные решения. Действительно, если, например,

то как бы мы не изменяли в общем решении свободную неизвестную Xm+1 в ее неотрицательной области изменения при Xm+2=….=Xn=0, целевая функция будет сохранять одно и то же значение

т. е. мы получим некоторую совокупность оптимальных решений задачи. Очевидно, оптимальных решений будет еще больше, если среди коэффициентов при свободных неизвестных в уравнении окажется несколько нулевых.