12.Единичная матрица: определение, формулы для элементов

Единичная матрица- квадратная диагональная матрица, элементы стоящие на главной диагонали равны единицы, а остальные эл-ты равны нулю.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

a₁₁ а₁₂ …а_1n

А= a₂₁ а₂₂ …а_2n или кратко А=(a_ij)

…………..

a_m1 а_m2 …а_mn

Если т=п, то матрица называется квадратной матрицей n-го по­рядка. Кв. матрица наз треугольной, если все ее элемен­ты, стоящие над или под главной диагональю, равны нулю. Кв. матрица называется диагональной, если все ее эл-ты, стоящие на главной диагонали, отличны от нуля, а остальные равны нулю. Диагональная матрица наз единичной, если у нее по главной диагонали стоят 1. Единичную матрицу принято обозначать буквой Е:

13. Обратная матрица: определение, условия существования обратной матрицы

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля т.е. квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она является невырожденной

14. Постановка линейной производственной задачи, смысл переменных, векторов и матриц,допустимый и оптимальный план, математическая модель

Есть предприятие которое может выпускать видов продукции, используя видов ресурсов. Пусть – расход -го ресурса на единицу -й продукции, – имеющееся количество -го ресурса, – прибыль от реализации единицы -й продукции (удельная прибыль), – искомое количество единиц -й продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу максимизирующую прибыль при ограничениях по ресурсам для каждого где по смыслу задачи все

Матрица А - удельные затраты ресурсов, вектор В объемов ресурсов и век­тор С удельная прибыль ; ; .

Мат. Модель.

а ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n ≤ b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n ≤ b₂

. . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n ≤ b_m.

x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0.

Если в матем-й модели какой-либо задачи планирования будут содержаться линейные неравенства, то их можно заменить линейными уравнениями с помощью дополнительных неотрицательных неизвестных.

Любое неотрицательное значение системы называют допустимым, а допустимое решение, при котором целевая ф-я принимает наибольшее (наименьшее) значение – оптимальным решением задачи ЛП.

15. Постановка общей задачи математического программирования. Основные понятия

Задачу линейного программирования нередко формулируют как задачу минимизации или максимизации линейной формы L=c₁x₁+c₂x₂+...c_nx_n (1) при ограничениях x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0 и

∑ a_ijx_j≤b_i, i=1,2,...m₁,

∑ a_ijx_j=b_i, i= m₁+1, m₁+2,...m₂,

∑ a_ijx_j≥b_i, i= m₂+1, m₂+2,...m.

Такую запись называют общей задачей линейного программирования.

Обозначим через А матрицу системы линейных уравнений:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … a_2nx_n = b₂ (2)

А = . . . . .

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … a_mnx_n = b_m.

Через X и B – матрицы-столбцы (векторы) неизвестных и свободных членов:

, ,

а также введем в рассмотрение n-мерный вектор C = (с₁ … с_n), компонентами которого служат коэффициенты линейной формы (1), и n-мерный нуль-вектор 0(0, 0, …, 0). Тогда линейную форму можно рассматривать как скалярное произведение L=CX (3), систему линейных уравнений (2) заменить одним матричным уравнением AX=B (4), а условия x₁≥0, x₂≥0, ...x_n≥0 записать в виде X≥0 (5). Поэтому часто основную задачу линейного программирования кратко записывают как задачу минимизации(максимизации) линейной формы (3) при линейных ограничениях (4) и (5).