68. Почему нельзя решать задачу целочисленного лп, решив ее сначала как обычную задачу лп без учета целочисленности, а затем округлив полученное решение?
1) Потому что не известно в какую сторону округлять( в большую или в меньшую)
2) Можно выйти за пределы допустимой области
3) Оптимальное целочисленное решение может быть не в соседней точке, а через одну, две, десять и т.д.
Что такое решение, оптимальное по Парето, в многокритериальной оптимизации?
В
случаях, когда имеется несколько целей,
которые не могут быть отражены одним
критерием (например, стоимость, надежность
и т. п.) требуется найти точку области
допустимых решений, которая минимизирует
или максимизирует все эти критерии.
Обозначим i-й частный критерий через, а
область допустимых решений через Q.
Учтем, что изменением знака функции
всегда можно свести задачу минимизации
к задаче максимизации, и наоборот, мы
можем сформулировать кратко задачу
векторной оптимизации следующим образом:
В идеальном случае в задаче (9.2.7)—(9.2.8) можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Но указанное пересечение обычно оказывается пустым множеством, и потому приходится рассматривать переговорное множество или множество Парето». Вектор называется эффективным решением, если не существует такого, что:
причем хотя бы
для одного имеет место строгое неравенство.
Множество допустимых решений, для
которых невозможно одновременно улучшить
все частные показа-тели эффективности,
принято называть областью Парето или
областью компромиссов, а принадлежащие
ей решения — эффективными или оптимальными
по Парето.
Операция Ei называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали. Отметим, что операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» (и даже просто «хорошими») — эти операции не являются худшими. Выбор операций среди оптимальных по Парето осуществляется на основе склонности лица, принимающего соответствующее решение, к риску.
Описать метод ветвей и границ
Данный метод позволяет отбрасывать достаточно большие подмножества допустимого множества D, состоящие из заведомо неоптимальных точек. Рассмотрим задачу ЦЛП:
Р= сх max, (1)
Ax
b,
(2)
x
0,
(3)
- целые. (4)
На первом этапе
решаем «родительскую» задачу ЛП –
задачу (1)-(3), но без учёта целочисленности
(4), или требования целочисленности. Если
её реш-ие целое, то оно и явл-ся реш-ем
задачи (1) – (3). В противном случае выбираем
любую нецелочислен компоненту, например
.
Далее разбиваем исходную задачу на 2 с
помощью след дополнит ограничений:
[
],
(5)
[
]+1,
(6)
где [ ] – целая часть числа .
Задачи (1) – (3), (5) и (1) – (3), (6) наз-ся «дочерними» задачами. Существен св-во процесса ветвления сост в том, что объединение допустимых множеств «дочерних» задач строго меньше допустимого множества «родительской» задачи, в то же время объединение допустимых множеств «дочерних» задач с учётом целочисленности в точности равно допустимому множеству «родительской» задачи с учётом целочисленности. Добавляемые ограничения представляют собой отсекающие плоскости, т.е оптимальное решение «родит» задачи не удовлетворяет каждому ограничению (5), (6). После «дочерних» задач решаем либо их обе, либо какую-то одну из них и продолжаем процесс ветвления.
Критерии окончания ветвления:
В задаче на максимум в начале решения граничное значение целевой функции, или рекорд, полается равным -∞.
1. Получена задача, не имеющая решения. Это становится все более вероятным с увеличением глубины ветвления, когда все большее число ограничений вида (5) или (6) добавляется к уже существующим ограничениям ( так, что все более вероятным становится несовместимость системы ограничений получаемых задач).
2. Если находится новое целочисленное решение, то оно сравнивается с рекордом; если прежний рекорд превзойден, то запоминается новый рекорд, в противном случае остается старый.
3. Получаемое оптимальное нецелочисленное решение задачи на какой-то стадии ветвления сравнивается с рекордом; если это значение меньше, чем рекорд, то ветвление задачи прекращается, так как нет возможности побить рекорд.
Непобитый рекорд дает оптимальное решение исходной задачи ЦЛП.