51.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу северо-западного угла.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла. В соответствии с этим правилом, заполнение транспортной таблицы начинается с левой верхней клетки и состоит из однотипных шагов, на каждом из которых из рассмотрения исключается один поставщик или один потребитель:

Построение начинается с верхней левой коетки, в которую мы ставим максимально возможную поставку:

• а ₁<b₁ значит x₁₁= min изменённый запрос: b_i ʹ=b₁-x₁₁

• а₁>b₁ значит x₁₁= b₁ изменённый запас: a_i ʹ=a₁-x₁₁

• а₁=b₁ значит x₁₁= b₁= a₁ изменённый запас: b_i ʹ=b₁-x₁₁=0

Запомнив х_11, мы из дальнейшего рассмотрения первого базисного решения исключаем только одного участника. Во всех случаях после заполнения одной клетки мы исключаем одного участника и переходим к задаче с количеством участников m+n-1 (m-число поставщиков, n - потребителей )

Каждому поставщику ставится в соответствие потенциал p_i, а каждому потребителю — потенциал q_i. При этом каждой клетке соответствует некоторая оценка: .

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе одно уравнение линейно зависит от остальных. Обычно полагают p₁=0. Остальные потенциалы вычисляются из условия, что для базисных клеток ∆_ij=0.

Затем вычисляются оценки всех свободных клеток. Если хотя бы одна из оценок строго положительна, то базисное допустимое решение, содержащееся в данной транспортной таблице, не является оптимальным. Выбирается свободная клетка (r, s), соответствующая наибольшей положительной оценке .

Для выбранной свободной клетки строится цикл пересчета — замкнутая ломаная, одна из вершин которой находится в данной свободной клетке, а все остальные — в занятых клетках, соседние звенья взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы.

Так производится перераспределение поставок вдоль цикла пересчета, при котором происходит такой переход к новому базисному допустимому решению.

52.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу минимального элемента в матрице тарифов.

При построении первого базисного решения по этому методу первой заполняется клетка с минимальным значением (тариф) и в нее заносится максимально возможное значение (кол-во груза к перевозке от i-го поставщика j-ому потр-лю). Далее по тем же правилам, что и в методе “северо-западного угла”, исключается один из участников (всегда только 1), находится минимальный из оставшихся элементов и в соответствующую клетку записывается максимально возможное для этой клетки значение . Процесс продолжается до получения базисного решения. При этом заполненными окажутся (m+n-1) клеток.

Замечание. Базисность допустимых решений, получаемых с помощью указанного выше метода,обеспечивается автоматически в случае выполнения следующих рекомендаций:

1)при заполнении очередной клетки необходимо присваивать соответствующей переменной максимально возможное значение;

2)после заполнения очередной клетки исключается из дальнейшего рассмотрения один и только один участник.

53.Записать математическую модель замкнутой транспортной задачи, составить двойственную к ней задачу и записать условия второй основной теоремы двойственности для получения пары взаимодвойственных задач линейного программирования.

Транспортная задача,в которой суммарные запасы продукции поставщиков = суммарным запросам потребителей, называется сбалансированной, закрытой или замкнутой.В этом случае удовлетворение запросов всех потребителей возможно, если от каждого поставщика вывозится вся продукция , а каждому потребителю продукция доставляется в количестве, соответствующем его запросам. Очевидно,что математической моделью закрытой транспортной задачи будет следующая задача ЛП:

( 1.3);(1,4)

Отметим 2 важных свойства задачи ():

1)задача всегда имеет решение

2)ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен m+n-1.

Задача,двойственная к транспортной задаче.

Пусть дана закрытая транспортная задача,математическая модель которой имеет вид (1.2)-(1.5).Составим двойственную задачу.Обозначим переменные двойственной задачи,соответствующие уравнениям (1.3) через Pi (i=1,...,m),а переменные, соответствующие уравнениям (1.4)-через Qj(j+1,…,n). Тогда задача,двойственная к задаче (1.2)-(1.5), примет вид

(1,6);(1,7)

Задача (1.6),(1.7)содержит(mn) неравенств (1.7) относительно (m+n) неизвестных Pi и Qj ,которые могут принимать значения любого знака.

Из второй основной теоремы двойственности получаем,что допустимое решение Хij (i=1,…,m; j=1,…,n) задачи (1.2)-(1.5) и допустим решение Pi(i=1,…,m) и Qj (j=1,…,n) задачи (1.6)-(1.7) будут оптимальными решениями соответствующих задач тогда и только тогда,когда они будут удовлетворять следующим условиям: n

p_i(∑x_ij-a_i)=0,i=1,…,m

j=1

m

q_j(∑x_ij-b_j)=0,j=1,…,n

i=1

x_ij(p_i+q_j-c_ij)=0, i=1,..,m; j=1,..,n