Сформулировать и доказать основное неравенство теории двойственности линейного программирования.
Пусть дана пара взаимодвойственных задач, тогда для любого решения Х=(х1, x2, … xn) исходной задачи и У=(у1….ум) двойственной задачи справедливо неравенство:
Доказательство:
40.Основное
неравенство теории двойственности ЛП.
Для любых
допустимых решений
и
прямой
и двойственной задач ЛП справедливо
неравенство:
.
Для любого допустимого плана исходной
задачи и для любого допустимого в-ра
оценок ресурсов
общая стоимость всего произведенного
продукта не превышает суммарной стоимости
ресурсов.
Сформулировать и доказать малую теорему двойственности.
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ. Для существования оптимального решения любой из задач двойственной пары необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них.
Поскольку
для любого допустимого решения х прямой
задачи согласно т неравенству
,
а по усл.
,
то для любого допустимого х
,
т.е.
- оптимальное решение прямой задачи.
Точно так же
,
но
,
откуда
,
поэтому
- оптимальное решение
42. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач линейного программирования.
Теорема
о достаточном условии оптимальности
решений пары двойственных задач: Если
и
- допустимые решения пары двойственных
задач,
для которых выполняется равенство
,
то
и
- оптимальные
решения соответствующих задач.
Согласно этой теореме, план производства продукции и вектор оценок ресурсов является оптимальным, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.
43.Сформулировать и доказать первую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание первой основной теоремы двойственности?
Если
одна из двойственных задач имеет
оптимальное решение, то двойственная
ей задача также имеет оптимальное
решение, причем экстремумы целевых
функций равны, т.е.
.
Если одна из двойственных задач не имеет оптимального решения, то другая задача также не имеет оптимального решения, причем если одна из задач не имеет оптимального решения из-за неограниченности целевой функции, то другая из-за несовместности системы ограничений.
Д
-во:
Пусть существует оптимальное решение
х* прямой задачи, тогда оптимальное
базисное решение расширенной задачи
лп существует и имеет вид:
Где B* - оптимальная базисная матрица.
Оптимальное значение функции цели расширенной задачи равно
.
Но поскольку коэффициенты функции цели
при дополнительных переменных расширенной
задачи равны нулю, то это значение
является одновременно и оптимальным
значением целевой функции первоначальной
задачи :
Докажем теперь,
что существует оптимальное решение
двойственной задачи P*/ Для этого докажем
что решение двойственной задачи
допустимо, а затем то, что оно оптимально.
В самом деле, поскольку решение
оптимальное базисное решение расширенной
задачи, то для него все симплекс-разности
неположительны
.
Но поскольку
то
.
В первоначальной нумерации матрица неА
и цены неС расширенной задачи имеют
следующую структуру: неА=(А,Em) неС=(с,0).
В соответствии с данной структурой
неравенства
разделяются на 2 части:
И
,
поэтому Ро допустимое решение двойственной
задачи. Кроме того, в соответствии с
, поэтому согласно теореме о достаточном
условии оптимельности решений пары
двойственных задач лп Po является
оптимельным решением. Пусть теперь
целевая функция прямой задачи не
ограничена. Предположим, что двойственная
задача имеет допустимое решение Р тогда
по основному неравенству теории
двойственности значения функции цели
для всех допустимых решений прямой
задачи были бы ограничены сверху
величиной рb, но это противоречит тому.
Что ф-я цели не ограничена, поэтому
двойственная задача не имеет решения.
Экономическое содержание первой основной теоремы двойственности ЛП таково. В терминах оценок она может быть сформулирована следующим образом: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного реализацией оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.