6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.

Пусть - произвольный многочлен из кольца . Пусть - элемент из области целостности (область без делителей нуля). , . Сумму называют значением многочлена . - корень многочлена , если .

Теорема Безу: Пусть , , тогда в кольце существует многочлен , что . Другая формулировка теоремы Безу: Остаток от делителя многочлена на двучлен равен значению многочлена .

Теорема: (Критерий корня): Пусть , - является корнем тогда и только тогда, когда . Доказательство. Необходимость: пусть – многочлен, для которого – корень. Докажем, что . По теореме Безу . Достаточность: . Д-ть: – корень.  , . Чтд.

Схема Горнера – это аппарат, который позволяет найти результат от деления многочлена на двучлен .

Пример. Выполнить деление по схеме Горнера.

Если – корень многочлена , то по критерию корня это означает, что  .

Если – корень многочлена , то , , ….

Может оказаться, что – корень многочлена и т.д.

Наибольшая натуральная степень двучлена , на которую делится многочлен , называется порядком кратности корня для многочлена .

Т.о. является k-кратным корнем ненулевого многочлена в том и только том случае, если не делится на . Константа есть k-кратный корень многочлена , если , не делится на .

Теорема: если многочлен f = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀Z[x] имеет несократимую дробь p/q корнем, то: 1) р – делитель а₀, а q – делитель а_n. 2) p – mq – делитель f(m) для mZ.

Следствие: Если p/q – корень, то f(1)(p - q), a f(-1)(p + q). Замечание: данная теорема является лишь необходимым условием существования корня, а поэтому с помощью 1 условия можно найти все возможные корни, с помощью 2 условия можно отбросить некоторые, но в конечном итоге все они должны быть проведены по схеме Горнера.

Пример: Найти рац. корни многочлена 4х³ – 3х -1. р = {1}, q = {1, 2, 4}. p/q = {1, ½, ¼}. f(1) = 0. f(-1) = -2.

корни	½	-½	¼	-¼
(-2/(p + q))Z	-	+	-	-

4 0 -3 -1

-½ 4 -2 -2 0

-½ 4 -4 0

-½ 4 -6

Ответ: данный многочлен имеет 2 рац. корня: простой корень -1 и двукратный корень -½.

Нахождение корней многочлена над полем действительных чисел.

Нахождение корней многочлена над полем рациональных чисел.

Решение уравнений.

Уравнением 3-й степени называется уравнение вида (1), где , . Комплексное число - называется корнем этого уравнения, если: .

Преобразуем уравнение (1) в уравнение (2): (2).

, .

.

Обозначим: , , (3). Такое уравнение называют приведенным кубическим уравнением.

Пусть имеется приведенное кубическое уравнение (*). Введем обозначения . Это формулы Кардано.

Теорема. Корни уравнения (*) выражаются формулами:

Пример. Решить уравнение 3 степени.

Уравнение 4-й степени. Метод Феррари.

- уравнение 4-й степени, . Поделим на : .

Рассмотрим метод Феррари решения уравнения такого вида:

1. .

2. Дополним левую часть до полного квадрата.

.

3. Дополним левую часть до полного квадрата, дополняя слагаемые с новой переменной .

.

4. Поскольку в левой части полный квадрат, следовательно, это уравнение имеет 2-х кратный корень, а это возможно, когда у уравнения в правой части Д=0.

.

5. Найдем некоторый корень кубического уравнения, относительно . Пусть это число . Подставим его в уравнение пункта 3. В правой части появится полный квадрат, т.е. правая часть примет вид: , .

6. Последнее уравнение преобразуется в дезъюнкцию: .

7. Решить полученные квадратные уравнения.

Пример. Решить уравнение методом Феррари.

Результантом многочленов называется определитель, составленный следующим образом.

Пример:

Результант многочленов используется при решении систем уравнений.