![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- •Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- •1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- •2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- •Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- •Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- •Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- •5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- •6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- •7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- •8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- •12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- •14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- •15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- •18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- •19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- •20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- •21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- •23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- •Свойства счетных множеств
- •Графическое представление
- •5. Основные тождества алгебры множеств
- •Принципы математической индукции
- •Отображение отношения функции
- •24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- •25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- •26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- •27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- •29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •3) Двойственная задача.
- •30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.
15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида
, (1)
где
- действительные или комплексные числа,
называемые членами ряда,
-
общим членом ряда.
Ряд (1) считается
заданным, если известен общий член ряда
,
выраженный как функция его номера
:
.
Сумма первых
членов ряда (1) называется
-й
частичной суммой ряда и обозначается
через
,
то есть
.
Рассмотрим частичные
суммы
.
Если существует конечный предел
последовательности частичных сумм ряда
(1), то этот предел называют суммой ряда
(1) и говорят, что ряд сходится. Записывают
.
Если
не существует или
,
то ряд (1) называют расходящимся. Такой
ряд суммы не имеет.
Примеры:
1. Ряд 1+1+1+…+1+… расходится,
,
при
.
2. Ряд 0+0+0+…+0+.. сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд
сходится. Действительно,
Следовательно,
,
то есть ряд сходится, его сумма равна
1.
Свойства рядов:
1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд
(2)
где c
– произвольное число, также сходится
и его сумма равна cS.
Если же ряд (1) расходится и
,
то и ряд (2) расходится.
2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд
,
(3)
А их суммы равны
соответственно, то сходятся и ряды
,
(4)
причем сумма каждого
равна соответственно
.
3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.
Нахождение n-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости.
Теорема 1.
Если ряд (1) сходится, то его общий член
стремится к нулю, т.е.
.
Достаточное
условие расходимости ряда.
Если
,
или этот предел не существует, то ряд
расходится.
Признак Даламбера.
Пусть дан ряд (1) с положительными членами
и существует конечный и бесконечный
предел
.
Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Радикальный
признак Коши.
Пусть дан ряд (1) с положительными членами
и существует конечный или бесконечный
предел
.
Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Интегральный
признак Коши.
Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены как числовые
значения некоторой непрерывной монотонно
убывающей на промежутке
функции
так, что
,
то:
1. если
сходится, то сходится и ряд (1);
2. если расходится, то расходится также и ряд (1).
Рассмотрим класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
(5)
где
для всех
(т.е. ряд, положительные и отрицательные
члены которого следуют друг за другом
поочередно).
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (5) сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
;
Общий член ряда стремится к нулю: .
При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам
.
(6)
Доказательство:
Рассмотрим сначала частичную сумму
четного числа (
)
членов ряда (5). Имеем
Выражение в каждой
скобке, согласно первому условию теоремы,
положительно. Следовательно, сумма
и возрастает с возрастанием номера
.
С другой стороны,
можно переписать так:
.
Видно, что
.
Таким образом, последовательность
возрастает и ограничена сверху.
Следовательно, она имеет предел
,
причем
.
Рассмотрим теперь
частичные суммы нечетного числа (
)
членов ряда (5). Очевидно, что
.
Отсюда следует, что
,
т.к.
в силу второго условия теоремы. Итак,
как при четном n,
так и при нечетном n.
Следовательно, ряд (5) сходится, причем
.
Теорема доказана.
Замечание: Исследование знакочередующегося ряда вида
(7)
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (5).
Числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Теорема.
Пусть дан знакопеременный ряд
(8). Если сходится ряд
(9), составленный из модулей членов
данного ряда, то сходится и сам
знакопеременный ряд (8).
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
16. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные числа, а функции:
.
(1)
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость
функционального ряда: при каждом
фиксированном значении
функции
принимают числовые значения, и поэтому
при каждом фиксированном значении
ряд (1) обращается в числовой ряд.
Множество всех значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (1).
В дальнейшем нас будет интересовать, что областью сходимости ряда (1) является некоторый промежуток.
Пусть все члены ряда (1) определены в некотором промежутке.
Функциональный ряд сходится в промежутке, если он сходится как числовой ряд при каждом значении из этого промежутка.
Частичные суммы
ряда (1) являются функциями от
.
При фиксированном значении
последовательность частичных сумм ряда
(1) есть числовая последовательность.
Если изменять
,
например, в некотором промежутке, то
последовательность частичных сумм ряда
(1) есть последовательность функций
,
(2) определенных в этом промежутке
Последовательность
функций
сходится в промежутке,
если она сходится как числовая
последовательность при каждом значении
из этого промежутка.
Если при каждом
значении
из некоторого промежутка последовательность
(2) сходится как числовая последовательность
к некоторому пределу, то величина этого
предела зависит от взятого значения
,
и поэтому при переменном
последовательность функций (2) имеет
пределом также функцию от
:
.
(3)
Функция
называется
предельной функцией последовательности
(2).
Так как суммой ряда
называется предел последовательности
его частичных сумм, то сумма функционального
ряда (если он сходится для некоторого
множества значений
)
есть функция:
.
Функция
определена
в области сходимости ряда (1).
Последовательность
функций
равномерно сходится в некотором
промежутке к предельной функции
,
если для
всякого
можно выбрать
так, что
и для всех
из данного промежутка выполняется
неравенство
(4)
Если последовательность
частичных сумм ряда
сходится к
равномерно
в некотором промежутке, то ряд
равномерно
сходится в этом промежутке.
Другая формулировка: Разность между
суммой ряда и какой-либо его частичной
суммой есть остаток ряда:
.
Поэтому неравенство (4) может быть
записано в виде
.
Признак Вейерштрасса:
Пусть дан функциональный ряд
;
если существует положительный сходящийся
ряд
(
),
такой, что для всех
верны неравенства
(
)
(5), то данный функциональный ряд
равномерно (и абсолютно) сходится в
.
(Этот признак справедлив и для ряд,
заданного в интервале).
Положительный сходящийся ряд , связанный с функциональным рядом неравенствами (5), часто называется мажорирующим рядом или мажорантным рядом для функционального ряда.
Теорема: Если функции непрерывны в и ряд равномерно сходится в , то сумма ряда – непрерывная функция в . (Теорема справедлива в промежутках любого типа).
Доказательство:
Пусть
- сумма ряда. Проверим непрерывность
в любой точке
.
Возьмем любую точку
и произвольное
.
По определению равномерной сходимости
ряда, найдем по числу
такой номер
,
чтобы для
было верно:
(6) для всех
из
.
Из того, что сумма
всякого сходящегося ряда получается
сложением какой-либо частичной суммы
ряда и суммы соответствующего остатка
(
),
имеем:
и
,
где
любое из
,
а
- фиксированное и
.
Вычитая, находим:
.
Отсюда
. (7)
Так как
непрерывна как сумма
непрерывных функций, то по заданному
можно подобрать
так, что из неравенства
будет следовать неравенство
.
Из (7), (6) и последнего неравенства
получаем:
.
Таким образом, для произвольного
найдено
,
такое, что при
:
.
Это означает, что функция
непрерывна в точке
.
Так как
- любая точка из
,
то тем самым доказана
непрерывность
в
.
17. Двойные интегралы, их определение и сведение к повторным. Некоторые приложения двойных интегралов.
Основные свойства двойных интегралов
Разложения двойных интегралов
Объем:
Площадь поверхности:
Вычисление массы плоской фигуры:
Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской фигуры:
Центр тяжести системы материальных точек на плоскости определяется как такая точка, что если в ней сосредоточить массы всех точек системы, то ее статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.
Пусть в замкнутой
области D
плоскости Oxy
задана непрерывная функция
.
Разобьем область D
на
«элементарных областей»
(
),
площади которых обозначим через
,
а диаметры (наибольшее расстояние между
точками области) – через
.
В каждой области
выберем произвольную точку
,
умножим значение
функции в этой точке на
и составим сумму всех таких произведений:
.
(1)
Эта сумма называется
интегральной суммой функции
в области D.
Рассмотрим предел
интегральной суммы (1), когда
стремится к бесконечности, таким образом,
что
.
Если этот предел существует и не зависит
ни от способа разбиения области D
на части, ни
от выбора точек в них, то он называется
двойным интегралом от функции
по области D
и обозначается
(или
).
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
.
(2)
- функция, интегрируемая
в области D;
D
– область интегрирования; x
и y
– переменные интегрирования;
(или
)
– элемент площади.
Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
Замечание. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям.
При этом
, равенство (2) можно записать в виде
.
Основные свойства двойного интеграла. Будем считать все подынтегральные функции непрерывными.
1.
,
c
– const.
2.
.
3. Если область D
разбить линией на две области
и
такие, что
состоит лишь из линии, их разделяющей,
то
.
4.Если в области D
имеет место неравенство
,
то и
.
Если в области D
функции
и
удовлетворяют неравенству
,
то и
.
5.
,
так ка
.
6.Если функция
непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S,
то
,
где m
и M
– соответственно наименьшее и наибольшее
значения подынтегральной функции в
области D.
7. Если функция
непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S,
то в этой области существует такая точка
,
что
.
Величину
называют средним значением функции
в области D.
Приложения двойного интеграла.