![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- •Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- •1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- •2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- •Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- •Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- •Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- •5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- •6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- •7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- •8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- •12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- •14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- •15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- •18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- •19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- •20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- •21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- •23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- •Свойства счетных множеств
- •Графическое представление
- •5. Основные тождества алгебры множеств
- •Принципы математической индукции
- •Отображение отношения функции
- •24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- •25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- •26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- •27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- •29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •3) Двойственная задача.
- •30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.
18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
Пусть даны два
множества
и
,
элементами которых являются комплексные
числа. Числа
множества
будем изображать точками комплексной
плоскости
,
а числа
множества
- точками комплексной плоскости
.
Если каждому числу
(точке)
по некоторому правилу поставлено в
соответствие определенное число (точка)
,
то говорят, что на множестве определена
однозначная функция комплексного
переменного
,
отображающая множество
в
(рис.).
Если каждому соответствует несколько значений , то функция называется многозначной.
Множество
называется областью определения функции
;
множество
всех значений
,
которые
принимает
на
,
называется областью значений этой
функции(если же каждая точка множества
- область значений функции; в этом случае
функция
отображает
на
).
Далее будем рассматривать такие функции , для которых множества и являются областями.
Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости.
Функцию
можно записать в виде
,
т.е.
,
где
,
,
.
Пусть функция
определена в точке
и в некоторой ее окрестности. Функция
называется непрерывной в точке
,
если
.
Или: функция
непрерывна в точке
,
если бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции:
.
Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пусть однозначная
функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
включая и саму точку. Тогда предел
,
(1)
если он существует, называется производной функции в точке , а функция называется дифференцируемой в точке .
В равенстве (1)
любым образом стремится к нулю, т.е.
может приближаться к точке
по любому из бесконечного множества
различных направлений. (рис.)
Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке.
Теорема:
Если функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
причем в этой точке действительные
функции
и
дифференцируемы, то для дифференцируемости
функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке выполнялись равенства
,
.
(2)
Равенства (2) называются условиями Коши-Римана.
Доказательство: Необходимость.
Пусть функция
дифференцируема в точке
,
тогда предел (1) существует. Можно считать,
что точка
приближается к точке
по прямой, параллельной действительной
оси (оси Ox),
т.е.
(см. рис.)
Тогда
Если же точка
приближается к
по прямой, параллельной мнимой оси (оси
Oy),
то
,
.
В этом случае
Сравнив найденные
пределы, получим
.
Отсюда следует:
,
.
Достаточность.
Пусть теперь условия (2) выполняются. Докажем, что функция дифференцируема.
Так как функции
и
дифференцируемы в точке
,
то их полные приращения можно представить
в виде
где
- бесконечно малые более высокого
порядка, чем
.
Тогда
Заменяя в числителе
первой части
на
,
на
,
согласно условиям (2), получаем:
,
где
,
т.е.
,
а
- бесконечно малая высшего порядка
относительно
.
Отсюда следует, что
существует. При этом
.
Доказано.
С учетом условий
Коши-Римана (2) производную дифференцируемой
функции
можно находить по формулам:
(3)
Правила
дифференцирования функций действительного
переменного справедливы и для функций
комплексного переменного, дифференцируемых
в точке
.
Это означает, что если
и
дифференцируемы в некоторой точке
комплексной плоскости, то верно следующее:
1.
2.
3.
4. Если
дифференцируема в точке
,
а
дифференцируема в точке
,
то
.
Однозначная функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке .