5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.

Пусть дано 2 векторных пространства и . Линейное отображение :  - называется гомоморфизмом векторного пространства, если выполняются 2 условия:

1. ( a, b  )  (a+b)=  (a)+  (b) - аддитивность.

2. ( a V) (   P)  (a)=   (a) - однородность.

Линейное отображение векторного пространства в себя называется линейным оператором, то есть линейный оператор – это гомоморфизм векторного пространства в себя.

Свойства линейного оператора:

Т.к. линейный оператор – это гомоморфизм, то выполняются все свойства гомоморфизма (() = , (-а) = -(а), линейно зависимая система переходит в линейно зависимую систему, образ линейной комбинации является линейной комбинацией образов с теми же коэффициентами).

Частный случай линейного оператора:

1) пусть _pV – векторное пространство и отображение : VV – задано по правилу: (х) = х. Данное отображение является линейным оператором. Этот оператор называют тождественным или единичным.

2) пусть _pV – векторное пространство и  - фиксированный элемент поля Р. Отображение : VV – задано по правилу: (х) = х. Данное отображение является линейным оператором. Этот оператор называют оператором гомотетией с коэффициентом . Оператор гомотетии с коэффициентом  = 0 называется нулевым оператором. Оператор гомотетии коэффициентом  = 1 – есть оператор тождественный или единичный.

3) пусть L₁ и L₂ – подпространства пространства V, причем V = L₁  L₂. (хV) (!lL₁) (!uL₂) х = l + u. Рассмотрим : VV, которое каждому вектору х ставит в соответствие его компоненту lL₁: хlL₁. По свойствам подпространств  - линейный оператор и его называют оператором проектирования.

4) пусть _RF – векторное пространство действительных функций одной переменной х, определенных и неограниченно дифференцируемых на множестве R. Оператор D: FF, ставящий в соответствие каждому элементу из F его производную, является линейным оператором. (fF) D(f) = f  = df/dx; D(f + g) = D(f) + D(g); (f + g) = f  +g; D(f) = D(f); f = f , где R. Этот оператор называется оператором дифференцирования.

Теорема: Пусть _pV – векторное пространство и (е₁, е₂, …, е_n) – базис. Возьмем произвольную систему векторов: а₁, а₂, …, а_n пространства V. Тогда ! Линейное отображение (е_i) = а_i, i = 1, …, n.

Замечание: аналогичная теорема справедлива и для двух различных пространств.

Множество векторов линейного пространства V, которое под действием линейного оператора  переходит в , называется ядром линейного оператора и обозначается : . Т.е. ядро линейного оператора – это полный прообраз нулевого вектора при отображении . Теорема: Ядро ЛО является подпространством этого пространства.

Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора и обозначается: .

Образом линейного оператора называется множество всех векторов образа линейного оператора: и обозначается: .

Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора и обозначается: .

Теорема (о связи размерности векторного пространства с рангом и дефектом линейного оператора): Пусть - линейный оператор конечномерного векторного пространства V. Сумма ранга и дефекта ЛО = размерности пространства V.

Пусть – конечномерное векторное пространство. – базис пространства. - линейный оператор пространства V.

Представим векторы в виде линейной комбинаций базиса (1):

Матрица - это матрица линейного оператора относительно базиса _.

Теорема (связь м\у матрицей ЛО относительно различных базисов).

Пусть V- ненулевое конечномерное векторное пространство.

(1)

(2).

и .

T – матрица перехода от (1) ко (2).

Пусть дан - ЛО векторного пространства. и - это матрицы этого оператора, соответственно относительно (1) и (2) базисов. Тогда .

Действия над линейными операторами:

1) Суммой ЛО и будем называть отображение, определяемое формулой: .

Теорема: сумма ЛО пространства V есть ЛО этого пространства.

Док-во: 1) - отображение. .

Док-во:

2) .

Док-во:

2)Если - ЛО конечномерного векторного пространства и , то будем называть отображение, определяемое формулой: ().

3) Пусть и - ЛО пространства V, произведением ЛО называется отображение, ставящее в соответствие элементу : . .

Оператор - называется обратимым, если для него обратный ЛО. . - тождественный оператор. Т.е., если - обратный к , то - обратный к . Поэтому и взаимнообратные ЛО.

Оператор пространства назовем невырожденным, если его дефект =0, в противном случае ЛО будем называть вырожденным.

Собственные векторы и собственные значения.

Ненулевой вектор линейного пространства называется собственным вектором ЛО , если и . Число при этом называется собственным значением вектора относительно оператора .

Пример: (х, у)(2х, 2у).

Свойства СВ и СЗ:

1)Собственны вектор ЛО имеет ! собственное значение относительно одного и того же ЛО.

Д-во: (МоП) Пусть собственный вектор имеет 2 собственных значения относительно оператора . , ,

тогда в силу однозначности оператора : .

,

.

Наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать.

2) Если – это ЛНЗ система собственных векторов ЛО с одним и тем же собственным значением , то любая линейная комбинация этих векторов, в которой хотя бы один коэффициент  0, является собственным вектором с тем же собственным значением .

Д-во: Рассмотрим вектор , где и хотя бы один из .

3) Все собственные векторы ЛО конечномерного пространства V, имеющие одно и то же собственное значение , вместе с  образуют линейное пространство. Это подпространство называют собственным подпространством пространства V.

Теорема: (Нахождение собственных векторов ЛО с собственным значением ). Пусть - ЛО и - это собственное значение этого оператора. Множество всех собственных векторов с собственным значением относительно совпадает с множеством .

Теорема: пусть - ЛО векторного пространства V_n и относительно базиса . Матрица этого оператора и число является собственным значением ЛО , тогда определитель: (1).

Уравнение (1) с переменной называют характеристическим уравнением матрицы ЛО .

Т.о. задача по отысканию собственных векторов ЛО сводится к след. алгоритму: 1) зная , составить характеристическое уравнение и решить его относительно переменной . 2) найденные значения подставить в систему, полученную из характеристического уравнения и определить вектор Множество собственных значений ЛО называют спектром ЛО . ЛО n-мерного векторного пространства называют оператором с простым спектром, если он имеет n-различных слбственных значений.

Теорема: Если квадратные матрицы А и В подобны, то их характеристические уравнения совпадают.