2. Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.

Отношение, при котором каждой упорядоченной паре (a, b) элементов множества М ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества, называется бинарной алгебраической операцией, определяемой на множестве М.

Бинарные алгебраические операции обозначают значком: *, . Записывают: a  b=c или a * b=c. Элемент с называют результатом бинарной алгебраической операции или композицией элементов a и b.

Кроме бинарных алгебраических операций существуют и нульместные (нульарные), унарные, тернарные,…n-арные операции.

Нульместной алгебраической операцией на множестве М называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества.

Если каждому элементу из М соответствует другой (или тот же) элемент из М, то операция называется унарной. Унарную операцию называют также оператором.

Операция, при которой n элементам из множества М соответствует единственный элемент из М, называется n-арной или операцией ранга n.

Примеры бинарных алгебраических операций:

На множестве целых чисел сумма и разность любых двух целых чисел есть целое число, значит данные операции являются бинарными алгебраическими операциями на множестве целых чисел.

Алгебраическая операция  на множестве М называется ассоциативной, если для любых трёх элементов a, b, c, принадлежащих множеству М, выполняется равенство: (a b)c=a(bc).

Алгебраическая операция  на множестве М называется коммутативной, если (a, bM) ab=ba.

Пусть задано множество М с двумя бинарными алгебраическими операциями *, . Бинарная операция * называется дистрибутивной относительно операции  , если ("a, b, cÎ G) (a b)* c=(a* с) (b* c) – правая дистрибутивность;

с* (a  b) =(с* а)  (с* b) –левая дистрибутивность.

Элемент nМ называется нейтральным элементом относительно бинарной операции , если для любого элемента aМ выполняется равенство an=na=a.

Теорема(о единственности нейтрального элемента) .

Если алгебраическая система (G,*) обладает нейтральным элементом n, то он единственный.

Доказательство (методом от противного).

Пусть n₁ и n₂ - два различных нейтральных элемента, тогда по def нейтрального элемента => ] нейтральный элемент n_{1 ,} тогда n₁ ○ n₂ = n₂ ] нейтральный элемент n_{2 ,} тогда n₁ ○ n₂ = n₁

=> n₁ = n₂ - получили противоречие. Ч.Т.Д.

] n – нейтральный элемент множества А относительно операции ○, заданной на этом множестве. Элемент b множества А называют симметричным элементу a относительно алгебраической операции ○,

a ○ b = b ○ a = n.

Симметричный элементу a обозначают a'.

Теорема: о числе симметричных элементов у ассоциативной операции

] алгебраическая операция ○ ассоциативна на множестве. Если элемент a этого множества имеет симметричный элемент, то он определён однозначно.

Группой называется непустое множество G с операцией *, обладающее следующими свойствами:

1. ("a, bÎ G) a*bÎ G;

2. ("a, b, cÎ G) a*(b*c)=(a*b)*c;

3. ($nÎ G)("aÎ G) a*n=n*a=a;

4. ("aÎ G)($a^/Î G) a^/*a=a*a^/=n.

Свойством коммутативности группа может не обладать. Если же в группе выполняется свойство коммутативности для любых элементов, то она называется коммутативной или абелевой.

Введем следующие определения:

• Множество с алгебраической операцией называют группоидом.

• Группоид с ассоциативной операцией называют полугруппой.

• Полугруппу с нейтральным элементом называют моноидом.

Связь между данными алгебраическими структурами прекрасно иллюстрирует рисунок, из которого видно, что любая группа является полугруппой, а любая полугруппа является группоидом.

Группы бывают конечные и бесконечные. Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается ½G½.

Простейшие свойства групп (на мультипликативном языке):

1) В каждой группе существует только одна единица (по теореме о единственности нейтрального элемента);

2. В каждой группе любой элемент g имеет единственный ему обратный элемент g^-1 Î G;

3. Во всякой группе каждое из уравнений ax=b и ya=b при любых a, bÎ G имеет решение и притом только одно;

?????????????????????????

2. Справедливы законы сокращения:

("a, b, с Î G) ab=cbÞ a=c (сокращение справа),

("a, b, с Î G) ba=bcÞ a=c (сокращение слева).

????????????????????????????

2. ("a, bÎ G) ab=a Þ b=1 и ("a, bÎG) ba=a Þ b=1;

6) ("a, bÎ G) ab=1 Þ a^-1 =b Ù b^-1 =a ;

7) В группе имеет место обобщенный закон ассоциативности, а если группа абелева – обобщенный закон коммутативности.

8) ("aÎ G) (a^-1) ^-1=a;

9) ("a1, a2,… an ÎG) (a1 a2… an) ^-1= (an) ^-1(an-1) ^–1 (a1) ^–1

Определение 1.3.

Непустое подмножество H группы (G,◦) называется подгруппой группы G, если оно само является группой относительно той же операции, что и группа G.

Критерий подгруппы: Непустое подмножество H группы G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда:

1) ("a, bÎ H) a bÎH; 2) ("aÎ H) (a^-1) ÎH.

Примеры подгрупп:

1. Тривиальные (несобственные) подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу и сама является своей подгруппой.

2. Циклические подгруппы. Зафиксируем элемент a в группе G. Подмножество [a] = {a^k /kÎZ)} группы G, состоящее из всевозможных степеней элемента a, является подгруппой в G, порожденной элементом а, который называется образующим своей циклической подгруппы [a].

Одним из важных понятий в теории групп является понятие гомоморфизма.

Определение 1.4. Пусть имеется две группы (G1,◦) и (G2,*).

Отображение f: G1®G2 называется гомоморфизмом групп, если:

("g₁, g₂ÎG1) f(g₁◦g₂)=f(g₁)*f(g₂).

Определение 1.5. Отображение f: G1®G2 называется изоморфизмом групп (G1,◦) и (G2,*), если:

а) f - взаимно однозначное соответствие между множеством элементов первой группы и множеством элементов второй группы;

б) ("g₁, g₂ÎG1) f(g₁◦g₂)=f(g₁)*f(g₂).

Понятие гомоморфизма является обобщением понятия изоморфизма.

Мономорфизм – гомоморфизм, являющийся одновременно инъективным отображением.

Эпиморфизм – гомоморфизм, являющийся одновременно сюръективным отображением.

Теорема 1.3. Если группы G₁ и G₂ изоморфны, то любое свойство группы G₁ переносится на группу G₂ и обратно.

Определение 1.6.

Ядром гомоморфизма групп называют множество элементов группы G₁, чей образ совпадает с нейтральным элементом группы G_2.

Обозначение: Ker f = {g₁ÎG1 / f(g₁)=e₂}=f ^-1(e₂).

Определение 1.7.

Образом гомоморфизма f называют множество элементов из G_2,

имеющих прообразы в G_1.

Обозначение: Im f = f(G1)={g₂ÎG2 /($ g₁ÎG1) g₂=f(g₁)}.

Основные свойства гомоморфизма групп: