12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение. Пусть даны две переменные х и у. Переменная у называется функцией от переменной х, если каждому значению х из области его изменения ставится в соответствие по некоторому закону определенное значение у. Переменная х называется в этом случае аргументом функции у.

Пусть каждому натуральному числу n сопоставлено вещественное число, обозначенное x_n. Тем самым нам заданы некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: х₁ имеет номер 1, х₂— номер 2, и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность x₁, x₂, x₃,…, x_n.

Числа, составляющие последовательность, называются ее членами, а х_n — общим или n-м членом последовательности.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности x₁, x₂, x₃,…, x_n, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство .

Арифметические свойства пределов:

1. Если переменная х_n имеет пределом число а, и а больше некоторого числа b, то значения переменной, начиная с некоторого n, будут также больше этого числа b.

2. Если переменная х_n имеет пределом а, и а меньше некоторого числа с, то значения этой переменной, начиная с некоторого n, будут также меньше этого числа с.

3. Если переменная имеет предел, то он единственный. Иначе говоря, переменная не может иметь двух различных пределов.

4. Если имеем две переменные величины х_n и у_n, имеющие пределами соответственно числа а и b, причем х_n = у_n для всех n, то а = b.

5. Если переменные х_n и у_n имеют своими пределами соответственно числа а и b, причем х_n ≤ у_n для всех n, то a ≤ b.

6. Пусть имеем три переменные х_n, у_n и z_n, связанные неравенствами х_n ≤ у_n ≤ z_n для всех n. Тогда если переменные х_n и z_n имеют один и тот же предел а, то переменная у_n также имеет предел и этот предел равен а.

7. Если множество значений переменной х_n, начиная с некоторого значения n, ограничено, то х_n является ограниченной величиной.

8. Если переменная х_n имеет конечный предел, то она ограничена.

Определение Даны три переменные величины х, у и z. Если каждой паре значений независимых переменных х и у из области их изменения соответствует по некоторому закону определенное значение переменной z, то переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у. Обозначение функции двух переменных следующее: z = f(х, у)

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса об ограниченности функции). Если функция f(x, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области (D), то f(x, у) ограничена в области (D).

13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .

Теорема: Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где - постоянное число.

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие действия.

1. С помощью точек разобьем отрезок на частичных отрезков .

2. В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точка и вычислим значение функции в ней, то есть величину .

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: .

4. Составим сумму всех таких произведений:

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: ( ).

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что .

Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - областью (отрезком) интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема (Коши): Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Непрерывность функции является достаточным условием интегрируемости.

Свойства, вытекающие из определения определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: . Интегральная сумма и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

3. Для любого действительного числа : .

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция интегрируема на отрезке .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на ( ), то имеет место формула (3).

Доказательство:

Разобьем отрезок точками на частичных отрезков как показано на рисунке.

Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа . Получим

, т.е. , (2)

где некоторая точка интервала . Так как функция непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от на .

Переходя в равенстве (2) к пределу при , получаем , т.е. . Доказано.

Основные свойства определенного интеграла.

Пусть функция интегрируема на отрезке .

1. Если - постоянное число и функция интегрируема на отрезке , то .

2. Если функции и интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и , т.е интеграл от суммы равен сумме интегралов.

3. .

.

4. Если функция интегрируема на отрезке и , то , то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.

5. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что . - называется средним значением функции на отрезке .

6. Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке , то .

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , можно интегрировать. Так, если при , то .

8. Оценка интеграла. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то

.

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: ; .

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть .

Док-во. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: . Следовательно, . Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Необходимое условие интегрируемости. Если функция является интегрируемой на  ограничена на .

Вычисления определенного интеграла: (на примерах)

1. Формула Ньютона-Лейбница..

2. Интегрирования подстановкой (заменой переменных).

3. Интегрирования по частям.