1. Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.

Пусть дано Р – некоторое числовое поле. Его элементы числа или скаляры. Пусть – переменные из поля Р. Предикат от n переменных а₁x₁ + а₂x₂+ …+ а_nx_n = b, где а₁, а₂, …, а_n, bP (элементы из P), называется линейным уравнением с n неизвестными над полем Р. Упорядоченная n-ка чисел , где ( - альфа) является решением линейного уравнения, если она обращает его в истинное высказывание: ₁a₁ + ₂a₂+ …+ _na_n = b.

Предикат - это тождественный предикат. Этому уравнению удовлетворяет любая n-ка чисел. Если -> тождественно ложный предикат (решений нет).

Системой линейных уравнений будем называть непустое конечное множество линейных уравнений. Системой линейных уравнений является конъюнкцией предикат.

, m – число уравнений.

Краткая запись системы:

Решением системы ЛУ (*) называется любая упорядоченная n-ка чисел, являющаяся решением каждого уравнения данной системы.

Если система ЛУ имеет хотя бы 1 решение, то ее называют совместной.

Если множество решений системы пусто, то ее называют несовместной.

Пример: 1. , (1,1,1)- решение этой системы, система совместна. 2. - эта система несовместна.

2 системы будем называть равносильными, если множества их решений совпадают.

Все несовместные системы равносильны.

Пусть имеются 2 линейных преобразования:

.

Под их суммой будем понимать уравнение:

Под произведением скаляра на уравнение будем понимать уравнение вида:

.

Пусть имеется СЛУ (*). Под элементарными преобразованиями понимают: 1. перестановка уравнений местами; 2. умножение любого уравнения системы на любой 0 скаляр; 3. прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на любой скаляр; 4. добавление к системе или исключение из него уравнение вида 0=0.

Теорема (об элементарных преобразованиях системы). В результате элементарных преобразований получаем систему, равносильную исходной.

Методы решения СЛУ:

1 метод: Метод последовательного исключения переменных или метод Гаусса

Теорема: Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) – применим к любой СЛУ, при этом система будет несовместна, если в процессе преобразований мы получим уравнение вида 0=b. Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. И она будет иметь единственное решение, если она приводится к треугольному виду, и иметь бесконечно много решений, если она приводится к ступенчатому виду. Замечание: Практически процесс решения системы можно облегчить, если вместо преобразований над системой производить преобразования над коэффициентами, записанными виде упорядоченных таблиц. Представление столбцов в таблице возможно, так как оно обозначает замену переменных.

ЛУ называется однородным, если свободный член = 0. СЛУ, состоящая из однородных уравнений, называется однородной СЛУ. Такая система всегда совместна, т.к. ее решением всегда является нулевое решение. Теорема: если в однородной СЛУ число уравнений < числа неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений.

Система уравнений называется неоднородной, если . Система называется однородной системой линейных уравнений, ассоциированной с системой (2).

Теорема Кронекера – Капелли (критерий совместности СЛУ): СЛУ совместна , когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Доказательство.

. Дано: СЛУ – совместна. Док-ть: ранг А = ранг В. (rang - ранг). Пусть дана СЛУ . Так как система (1) совместна, то она имеет хотя бы одно решение. Пусть - является решением этой системы. . - это означает, что b является линейной комбинацией векторов от системы векторов , можно с помощью элементарных преобразований перейти к системе . А так как при элементарных преобразованиях ранг не меняется, то столбцевой ранг матрицы A = столбцевому рангу матрицы B. rangA=rangB. (по определению)

Дано: rangA=rangB=r. Док-ть: система (1) – совместна.

Пусть для определенности столбцевой ранг матрицы A= r, и первые r – столбцов матрицы A – базисные. - (*) – (базисные). Векторы – столбцы системы (*) входят в систему столбцов матрицы B. Они образуют линейно независимую систему векторов. И так как rang системы = r, то система (*) является базисом векторов – столбцом матрицы B. По определению базиса все векторы линейно выражаются через (*). - сжатый вид. . - решение системы (1). След-но, система совместна. Доказано.

2 метод: С помощью обратной матрицы. Пусть имеется СЛУ , . 1. Сначала найти обратную матрицу. 2. Затем решить систему , где , , - обратная матрица.

3 метод. Метод Крамера (если определитель ): Теорема: Пусть имеется система из n ЛУ с n неизвестными.

Если определитель основной матрицы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

…,

где А_i получается из матрицы А заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Этот метод сложнее, чем метод Гаусса и применяется реже, когда определитель 0.